II. Zależności statystyczne

Marek Jerzy. Minakowski, Prehistoria logiki formalnej

IV. Opis zgromadzonego materiału źródłowego

W wyniku analizy wszystkich zachowanych tekstów greckich sprzed 350 r. p.n.e. (286 tytułów o łącznej długości kilkunastu tysięcy stron maszynopisu) udało mi się zebrać corpus 159 fragmentów, w których przeprowadza się dedukcje logiczne (o łącznej długości kilkudziesięciu stron maszynopisu). Ponadto badaniu poddane zostały niektóre dialogi pseudo-Platońskie , w których znalazłem siedem fragmentów (o łącznej długości prawie 5.000 znaków) i fragmenty presokratyków (wg Dielsa), gdzie znalazłem 20 fragmentów o łącznej długości kilkunastu stron maszynopisu (12.704 znaki).

Katalog znalezionych fragmentów wraz z odpowiednim aparatem statystycznym ze względu na swą objętość (ok. 790 str. maszynopisu), został potraktowany jako odrębna całość i przybrał postać osobnego opracowania (Minakowski [1987]). W tym miejscu przedstawiam syntetyczny opis jego zawartości.

W katalogu fragmenty są umieszczone w kolejności alfabetycznej imion autorów. Lista wszystkich fragmentów wraz z ich długością, liczbą kroków w argumentacji i ilością zastosowanych reguł logicznych podana jest tutaj.

Tutaj, inaczej niż w Katalogu (Minakowski [1997]) zachowana jest kolejność chronologiczna.

1. Okres do wojen perskich: epika i fragmenty

Z utworów greckich powstałych przed wojnami perskimi (pocz. V w. p.n.e.) pozostały wyłącznie dzieła epickie: Iliada i Odyseja Homera oraz krótsze utwory Hezjoda. Z pozostałej literatury znamy jedynie fragmenty, zachowane głównie w postaci znacznie późniejszych cytatów, oraz krótkie utwory poetyckie (hymny, liryki), zbyt drobne, by mogły być reprezentatywne.

Mimo, że te utwory (a dokładniej: te z nich, które zachowały się w całości) stanowią dziesiątą część całego corpus prearystotelików (ponad 1,8 mln znaków), nie udało się w nich znaleźć żadnego fragmentu, który można by określić mianem dowodu logicznego.

2. Dramat: od Ajschylosa (ur. 525) do Arystofanesa (ur. ~445)

Z mnóstwa greckich tragedii i komedii zachowały się jedynie dzieła czterech autorów: trzech tragików (Ajschylos, Sofokles, Eurypides) i jednego komediopisarza (Arystofanesa).

Zachowane utwory Ajschylosa i Sofoklesa (14 tragedii) to prawie 900 tys. znaków; nie udało się jednak w nich znaleźć żadnego przykładu argumentacji logicznej.

2.1. Eurypides (485/0–406)

Zachowane utwory Eurypidesa to 18 tragedii i poemat satyrowy, łącznie ponad 1,3 mln znaków: więcej niż zachowało się z pozostałych tragików tego czasu razem wziętych.

Z dwóch fragmentów, jakie znaleźliśmy u Eurypidesa, pierwszy (fr. 7. w katalogu Minakowski [1997]), z dramatu satyrycznego (satyrowego) Cyklop, nie zawiera dowodu logicznego, ale ciekawą zabawę z negacją w scenie, w której Polifem tłumaczy chórowi satyrów, że oślepił go Nikt (za którego podawał się Odyseusz).

Wart bliższego zainteresowania jest za to fragment drugi (8.), pochodzący z Alcesty (Alkestis). Jest on częścią sceny, w której dom Admeta odwiedza Herakles. Ma to miejsce zaraz po śmierci żony Admeta, tytułowej Alcesty, która dobrowolnie oddała życie swe za męża. Admet ma już ogoloną głowę na znak żałoby, boi się jednak, że Herakles nie będzie chciał u niego zostać, jeśli się dowie o śmierci Alcesty (ze względów religijnych raczej niż z szacunku dla bólu, w którym pogrążony jest dom). Dlatego też Admet zataja przed Heraklesem śmierć małżonki i plącze się w zeznaniach, twierdząc że jego żona żyje i nie żyje jednocześnie. Herakles zaprzecza temu, podając w ten sposób najstarsze zachowane wysłowienie prawa niesprzeczności: „uważa się za różne rzeczy być i nie [być]”. Na to Admet odpowiada: „to ty tak uważasz, Heraklesie, zaś ja inaczej”.

Mamy więc tu także najstarszą krytykę prawa niesprzeczności. Jakby tego było mało, w Żabach Arystofanesa mamy dalszą dyskusję na ten temat. Otóż w mowie Ajschylosa, który zajmuje się wymienianiem najgorszych „przestępstw” Eurypidesa (krytyka Eurypidesa jest głównym wątkiem Żab) fragment ten uznany jest za dowód najgorszego zepsucia Eurypidesa. Obok ukazywania na scenie stręczycielek, kobiet rodzących w świątyni i kazirodztwa mamy też ukazywanie osób mówiących, że „żyć” to to samo, co „nie żyć”. Wprawdzie podmiot ostatniego zdania jest żeński, ale mamy tu raczej licentiam poeticam, której celem jest zwięzłość (zmiana podmiotu na męski wymagałaby wprowadzenia nowego zdania, co znacznie zepsułoby moc jego wyrazu). W przekładzie p. prof. Ławińskiej-Tyszkowskiej fragment ten brzmi:

„Czyż jakieś przestępstwo pominął?

Rajfurki na scenę wprowadzał,

Kobiety rodzące w świątyniach

I z braćmi śpiące własnymi,

Mówiące, ze «żyć» to jest «nie żyć».

Dlatego właśnie to miasto

Gryzipiórków różnych jest pełne,

I błaznów i świętokradców,

Co zwodzą lud łatwowierny.

Pochodni nikt już nie uniesie

Bo ćwiczeń i siły im brak”.

Tak więc już Arystofanes obarczał odrzucenie zasady niesprzeczności odpowiedzialnością za upadek moralny państwa.

2.2. Arystofanes (~445–~385)

Z całej komedii okresu klasycznego zachowała się jedynie część utworów Arystofanesa: 11 utworów, liczących łącznie 925 tys. znaków. Znalazłem w nich trzy fragmenty. One także mają charakter dialektyczny (używane są w trakcie sporu) — dwa pierwsze pochodzą z agonu Chmur, ostatni z agonu Plutosa. Logika tu wykorzystywana nie jest zaawansowana — znajdujemy tu dwa (lub trzy) implikacyjne modus tollens oraz (czteroprzesłankową) przechodniość implikacji.

3. Historia: Herodot (ur. ~485) i Tukidydes (ur. ~454)

3.1. Herodot (~485 – ~425)

Po Herodocie zachował się jeden utwór, za to potężny (1,5 mln znaków): Historiai, czyli Dzieje, zwane też Muzami (jako że składają się z dziewięciu ksiąg, nazwanych imionami Muz). Jest to najstarsze, a także najobszerniejsze (przynajmniej do końca IV w. p.n.e.) dzieło historyczne literatury greckiej.

W dziele tym (stanowiącym objętościowo dwunastą część corpus prearystotelików) znalazłem pięć fragmentów (9–13.). Ostatni z nich (fr. 13.) nie zawiera dowodu logicznego, ale informację jakoby Temistokles w czasie narady (przed bitwą pod Salaminą) „dowiódł logicznie” (edelou logo) iż Ateny, „póki mają dwieście uzbrojonych okrętów”, nadal są wielkim państwem, mimo że Attyka jest kupowana przez Persów. „Wszak żaden lud Hellenów nie zdołałby ich ataku odeprzeć” (przekład S. Hammera). Dwa fragmenty (9. i 13.) zawierają modus tollendo tollens, zaś jeden (fr. 11.) czteroprzesłankową reg. przechodniości implikacji.

Najciekawszy u Herodota jest fr. 10., pochodzący z księgi V. Herodot zajmuje się tam wyliczaniem odległości, jaka dzieli stolicę Persji, Suzy, od wybrzeży Morza Śródziemnego (konkretnie Efezu). W swych wyliczeniach z wirtuozerią operuje zdaniami warunkowymi (implikacyjno-koniunkcyjnymi).

3.2. Tukidydes (~454 – wkrótce po 399)

Dzieje Tukidydesa, znane także pod tytułem Wojna peloponeska to również wielkie dzieło (ponad 1,2 mln znaków). Utwór ten jest pierwszym naukowym dziełem historycznym, należąc zarazem do gatunku określanego dziś jako „historia najnowsza”. Tukidydes, jeden z czołowych polityków ateńskich, opisuje w nim szczegółowo historię wielkiej wojny, którą Grecy śmiało mogli nazwać „światową”, jak że toczyła się w całym świecie greckim — od Bizancjum po Syrakuzy. W dziele Tukidydesa oprócz relacjonowania faktów mamy także ich uzasadnianie, dowodzenie, rozważanie argumentów.

Tukidydes, jako wybitny dyplomata, nie tylko opisuje i bada wydarzenia, ale jako materiał źródłowy cytuje dziesiątki mów, które w rozmaitych okolicznościach wygłaszali (lub wygłaszać mogli) mężowie stanu, dowódcy czy posłowie. Dlatego dzieło to nie tylko może być traktowane jako utwór historyczny, ale również reprezentować może retorykę polityczną tamtych czasów.

Niestety, w całym utworze Tukidydesa nie udało się znaleźć ani jednego fragmentu zawierającego dowód logiczny.

4. Filozofowie V w.: od Parmenidesa (ur. ~540/515) do Sokratesa (ur. 470)

Po filozofach przedsokratesowych nie zachował się żaden traktat. Znamy jedynie fragmenty, cytaty oraz parę króciutkich utworów takich jak Obrona Heleny Gorgiasza czy Mowy Podwójne nieznanego autora. Wszystkie te szczątki zebrane zostały przez H. Dielsa w dziele Die Fragmente der Vorsokratiker, uzupełnianym później przez W. Kranza. Zawiera ono w zasadzie wszystko, co zachowało się z pism o tematyce filozoficznej powstałych do połowy czwartego wieku p.n.e.

Mimo, że przystępując do badań wykluczyłem z corpus prearystotelesowskiego wszystkie utwory zachowane jedynie fragmentarycznie, to dla pism filozoficznych zrobiłem wyjątek (stąd numeracja ich fragmentów logicznych jest osobna, zaczyna się od poz. 201.). Przebadawszy wszystkie fragmenty presokratyków znalazłem w nich dwadzieścia dowodów logicznych: pięć u Gorgiasza z Leontinoi, po cztery u Melissosa z Samos i w Mowach Podwójnych, trzy u Zenona z Elei oraz po jednym u Hippona z Metapontu, Filolaosa z Krotonu, Anaksagorasa z Kladzomen i Diogenesa z Apollonii.

4.1. Eleaci: Parmenides, Zenon i Melissos

O ile u twórcy szkoły elejskiej, Parmenidesa, nie znajdujemy dowodzenia logicznego , o tyle wielkie zainteresowanie historyka logiki wzbudzają pozostałości po dwóch jego następcach: Zenonie z Elei i Melissosie z Samos. Daty ich życia nie są znane; przypuszcza się, że najprawdopodobniej Parmenides urodził się ok. r. 515, Zenon ok. r. 490, zaś Melissos pomiędzy r. 500 a 480 p.n.e. Wszyscy trzej byli więc starsi od Sokratesa (ur. 469 r. p.n.e.): Parmenides o ok. 45 lat, Zenon — ok. 20, a Melissos ok. 10–30 lat .

Z Zenona i Melissosa zachowały się drobiazgi: cztery krótkie fragmenty pierwszego (niecała strona maszynopisu) i dziesięć drugiego (objętościowo trzy i pół raza więcej). Po obu z nich zachowało się też trochę komentarzy (zwłaszcza u Platona i Arystotelesa).

Jedynym prawdopodobnie dziełem Zenona była książka (lub dwie), zawierająca paradoksy wynikające z przyjęcia wielości bytów lub możliwości ruchu . Książka ta stanowić miała obronę poglądów Parmenidesa poprzez ukazanie sprzeczności, do jakich prowadzą poglądy przeciwne. Jak jednak zauważa J. Barnes, nie mamy tu jeszcze do czynienia z dowodem tezy Parmenidesa: nieuzasadnione jest przypisywanie Zenonowi stosowania dowodu per reductio ad impossibile: w żadnym z zachowanych fragmentów Zenon nie wyciąga wniosku ze sprzeczności, do jakiej ma prowadzić twierdzenie oponentów. Nie ma tu ani dowodu tezy Parmenidesa poprzez wykazanie, że jej negacja prowadzi do absurdu, ani nawet obalenia poglądu przeciwnego. Jedyne, co Zenon robi, to ukazanie trudności, do jakiej prowadzi stanowisko przeciwne. Argumenty Zenona nie są konstruktywne, a burzące; nie bez racji J. Barnes nazywa go pierwszym sofistą. Niewykluczone bowiem, że zdaniem Zenona oba sprzeczne ze sobą poglądy prowadzą do podobnych trudności, a tylko stronniczość Zenona sprawia, że ukazuje wyłącznie trudności przeciwnika — nigdy swoje. Z pewnością w ten to właśnie sposób postępowali następcy Zenona ze szkoły megarejskiej — jak było z samym Zenonem, nigdy nie będziemy wiedzieli na pewno.

Według Diogenesa Laertiosa „Arystoteles […] mówi w Sofiście, że Empedokles pierwszy stworzył retorykę, a Zenon dialektykę” . Sofista nie dochował się do naszych czasów. Czym miałaby być zatem owa Zenonowska „dialektyka”? Zdaniem Schofielda (Kirk [1983]):

„By dialectic Aristotle has in mind the sort of philosophical interrogation pursued by Socrates in the early Platonic dialogues: the questioner elicits from his interlocutor assent to an endoxon, a belief in good standing accepted by everyone or most people or the experts, which he then forces him to abandon either by reducing it to absurdity or by showing that it conflicts with other beliefs the interlocutor holds. If one suspects the motives or the tactics of the questioner, one will be inclined to charge him with being a mere controversialist (antilogikos), which is what Plato had in mind when he described Zeno in the Phaedrus thus:

«Do we not then know that this Eleatic Palamedes argues with such skill that the same things appear to his listeners to be both like and unlike, both one and many, both at rest and in motion?» (261d)”.

Tak, czy inaczej, zachowane fragmenty utworu Zenona są ciekawe przez fakt użycia w nich aż trzech reguł logicznych: reguły odrywania, kontrapozycji i przechodniości implikacji z dodawaniem koniunkcji w następniku.

Pierwszy fragment Zenona (fr. 201.) to kontrapozycja: z założenia, że jeśli byt nie ma wielkości to byt nie istnieje wynika, że jeśli byt istnieje, to byt posiada wielkość. Zenon dowodzi tu, że każda część bytu musi posiadać jakąś wielkość. Celem dowodu miało być podobno twierdzenie, że wszystko, co ma wielkość, musi być nieskończone.

Drugi jego fragment (202.) to zastosowanie reguły odrywania: nie mające wielkości jest niczym, bowiem nie mające wielkości nie dodaje niczego, a jeśli nie mające wielkości nie dodaje niczego to nie mające wielkości jest niczym. Zenon dowodził tu, że co nie ma wielkości, nie może istnieć.

Tylko trzeci fragment z fragmentów Zenona (203.) jest bardziej złożony: mamy tam jedną regułę, ale trójprzesłankową. Zenon dowodzi, że przyjęcie wielości bytów prowadzi do sprzeczności. Simplicjusz podaje ten cytat (w komentarzu do Fizyki Arystotelesa), by ukazać, jak Zenon dowodził, że przyjęcie istnienia mnogości rzeczy prowadzi do stwierdzenia, ze te same rzeczy są zarazem ograniczone i nieograniczone.

Czy Zenon był starszy od Melissosa, czy odwrotnie — nie wiadomo. Z pewnością jednak Melissos używa już dowodu niewprost (per reductio ad impossibile) w pełni; kolejne tezy wyprowadzane są logicznie z poprzednich. Te kilka fragmentów z Melissosa, które mamy, pozwalają odpowiedzialnie stwierdzić, że Melissos wprawnie posługiwał się implikacyjno-negacyjnym rachunkiem zdań.

W pierwszym z fragmentów Melissosa (fr. 204.) dowodzi się, że Byt nie miał początku i nie będzie miał końca. Wnioskowanie przebiega następująco: skoro p→q, q→~r oraz r, więc ~p.

W drugim z jego fragmentów znajdujemy regułę dowodzenia niewprost: skoro p oraz q→~p, więc ~q. Stosuje się to w dowodzie, że skoro Byt jest nieskończony czasowo, jest także nieskończony przestrzennie, bo nie będąc takim, nie mógłby być wieczny.

W trzecim fragmencie Melissosa (206.) użyto kontrapozycji: „jeżeli byt jest nieskończony, to jest jeden, bo gdyby nie był jeden, nie byłby nieskończony”.

Ostatni fragment Melissosa (207.) jest największym z zachowanych dowodów eleackich: ma siedemnaście kroków. Używa się w nim głównie reguły odrywania i reguły dowodzenia niewprost, są jednak także dwa sylogizmy camestres: w pierwszym byt jest zawsze, cierpiące nie jest zawsze, więc byt nie jest cierpiący, w drugim zamiast „cierpiące” znajduje się „puste”. Fragment ten zasługuje na większą uwagę, ze względu na swoje łudzące podobieństwo do fragmentu 53. z Platońskiego Parmenidesa.

W swoim dowodzie (zrekonstruowanym przez Barnesa na s. 181) z założenia „O istnieje” (gdzie O jest dowolnym obiektem, który może być przedmiotem myśli i wypowiedzi) Melissos wyprowadza wnioski:

1. O nie jest zrodzone

2. O jest wieczne

3. O jest nieograniczone czasowo

4. O jest nieograniczone przestrzennie

5. O jest jedyne

6. O jest homogeniczne

7. O nie jest zmienne

8. O nie jest zniszczalne

9. O nie jest rosnące

10. O nie jest zmieniające układ

11. O nie jest cierpiące

12. O nie jest zatroskane

13. O nie jest puste

14. O nie jest pełne

15. O nie jest poruszające się

16. O nie jest gęste lub rzadkie

17. O nie jest podzielne

Porównajmy to z fragmentem 53 (Platon, Parmenides 137c–142a), gdzie z założenia „Jedno istnieje” Parmenides wyprowadza wnioski (m.in.):

1. Jedno nie jest liczne

2. Jedno nie jest złożone

4. Jedno nie jest ograniczone

5. Jedno nie jest mające kształt

6. Jedno nie jest mające miejsce

7. Jedno nie jest zmieniające się

8. Jedno nie jest poruszające się

9. Jedno nie jest tożsame z czymś

10. Jedno nie jest różne od czegoś

11. Jedno nie jest różne

12. Jedno nie jest podobne

15. Jedno nie jest niepodobne

16. Jedno nie jest równe

17. Jedno nie jest mające miarę

18. Jedno nie jest nierówne

19. Jedno nie jest starsze lub młodsze lub równoczesne

20. Jedno nie jest będące w czasie

21. Jedno nie jest uczestniczące w istnieniu

22. Jedno nie jest mające nazwę

23. Jedno nie jest mające definicję

24. Jedno nie jest przedmiot wiedzy

25. Jedno nie jest spostrzegane

26. Jedno nie jest mniemane

Widać, że rozważania Platona są na wyższym poziomie abstrakcji: u Melissosa mówi się raczej o cechach fizycznych (cierpienie, gęstość), u Platona w drugiej części wywodu pojawiają się cechy bardziej abstrakcyjne (bycie członem relacji, bycie w czasie), jednak schemat jest ten sam, być może tylko rozwinięty. O ile bowiem Platon we wszystkich swoich dowodach, nie tylko w innych dziełach, ale także w pozostałych częściach Parmenidesa, prawie nie używa rachunku zdań, to w tym fragmencie on dominuje , podobnie jak u Melissosa. Niewykluczone, że Platon zaczerpnął od Eleatów więcej, niż może wskazywać to zestawienie; może cały ten fragment Parmenidesa pochodzi z pism eleackich — jeśli nie samego Melissosa (co nie jest przecież wykluczone), to jego ucznia; z całą pewnością możemy tu mówić przynajmniej o parafrazie . Pamiętając, że struktura Parmenidesa wygląda następująco: wstęp (126a–137c), a następnie wyciąganie wniosków z kolejnych hipotez, możemy przyjąć, że pierwsza z nich (137c–142a) miała być właśnie hipotezą Melissosa, pozostałe zaś rozmaitymi jej przeróbkami, jakby wariacjami na jej temat .

Platonowi bliżej jest do Melissosa niż Parmenidesa, jego bowiem opinię przyjmuje w sprawie nieograniczoności i bezkształtności Bytu/Jednego (zdaniem Parmenidesa Byt był skończoną kulą). Nie da się chyba ustalić, czy fr. 53 jest cytatem z innej redakcji dowodu Melissosa, cytatem z któregoś z uczniów Melissosa, czy własną parafrazą Platona.

Nasze wnioski zdają się potwierdzać stylometryczne ustalenia R. Ledgera , który stwierdza, że język drugiej części Parmenidesa różni się zdecydowanie od języka reszty pism Platona, a w tym od języka pierwszej części Parmenidesa. Brak zachowanych pism Eleatów w ilości pozwalającej na dokonanie porównań stylometrycznych sprawia, że Ledger nie ma odwagi wyciągnięcia dalszych wniosków. Nie próbuje też dzielić drugiej części Parmenidesa na fragmenty. Jednak możliwość, że Platon zaczerpnął coś od Eleatów, jest przez Ledgera poważnie rozważana, zaś to, że przynajmniej mocno się na nich wzorował jest przyjęte za pewnik .

4.2. Gorgiasz z Leontinoi (~485 – ~380)

U Gorgiasza znajdujemy największą porcję logiki spośród wszystkich zachowanych fragmentów presokratejskich. Nie dość bowiem, że z jego twórczości zachowały się bowiem dwa pełne utwory: Pochwała Heleny i Obrona Palamedesa, to w dodatku są to utwory zbudowane na schemacie logicznym.

Pochwała Heleny (fr. 212.) to dowód w sześciu krokach, że Helena — znienawidzona przyczyna wojny trojańskiej — była niewinna. Dowód rozpoczyna się od założenia, że to, co się stało, stało się ze zrządzenia bogów lub Helena została porwana przemocą, lub została przekonana słowem, lub została porwana miłością. Następnie autor wywodzi, że każdy z tych przypadków implikuje jej niewinność. Z tego wynika już bezpośrednio, że Helena była niewinna.

Obrona Palamedesa to mowa, jaką mógł był wypowiedzieć Palamedes, by obronić się przed podstępnym oskarżeniem Odyseusza, że zdradził Greków Trojanom. W utworze tym znaleźliśmy cztery fragmenty.

W pierwszym z fragmentów Obrony Palamedesa (fr. 213.) Palamedes argumentuje na podstawie następującego schematu:

Nie zrobiłem A.

Gdybym bowiem zrobił A, to musiałbym w tym celu zrobić B,

— ale nie mogłem zrobić B.

Gdybym jednak nawet mógł zrobić B, to musiałbym w tym celu zrobić C,

— ale nie mogłem zrobić C.

Gdybym jednak nawet mógł zrobić C, to musiałbym w tym celu zrobić D…

Ten schemat pojawia się ośmiokrotnie, stąd należało wypisać osiem zbiorów założeń, z których można wyprowadzić podany na początku (i powtórzony na końcu) wniosek: Palamedes nie zdradził. Najbardziej rozbudowany zbiór założeń składa się z jedenastu zdań, głównie implikacyjnych.

W następnym fragmencie z tego utworu (214.) znajdujemy argumentum ad personam: Palamedes wykazuje w nim (w trzynastu krokach), że Odyseusz jest podłym człowiekiem, bowiem oskarża nie wiedząc nic na temat faktów. Odyseusz nie jest wiarygodnym oskarżycielem, bowiem ani nie był świadkiem, ani nie ma innych świadków, zatem oskarżenie ma opiera się jedynie na przypuszczeniach, które nie są wiarygodne. Podobnie, jak w poprzednich fragmentach, wykorzystuje się tu wyłącznie rachunek zdań (funktory implikacji, negacji i alternatywy). Jedna z reguł tu użytych ma aż siedem przesłanek.

W trzecim fragmencie z Obrony Palamedesa (fr. 215.) Palamedes wykazuje (w ośmiu krokach), że oskarżenie, według którego w przebiegły sposób miał zdradzić Greków, jest wewnętrznie sprzeczne. Jeżeli oskarżenie jest prawdziwe, to Palamedes jest przebiegły i zdradził Helladę. Tymczasem jeżeli Palamedes jest przebiegły, to jest mądry, zaś jeżeli zdradził Helladę to jest szalony. Wynika stąd, że jeżeli oskarżenie jest prawdziwe, to Palamedes jest mądry i szalony zarazem, co jest absurdem.

W ostatnim fragmencie z Gorgiasza (fr. 216.) Palamedes wykazuje, że oskarżenie, według którego w przebiegły sposób miał zdradzić greków, zawiera błędne koło. Palamedes najpierw dowodzi, że jeżeli jest mądry, to nie jest przestępcą, następnie zaś, że jeżeli jest przestępcą, to nie jest mądry. Dlatego oskarżenie Odyseusza, że Palamedes jest przestępcą i Palamedes jest mądry zarazem, jest nieprawdziwe.

4.3. Anaksagoras z Kladzomen (~500 – ~428)

Wśród fragmentów wielkiego Anaksagorasa znalazłem jeden dowód, w którym wykorzystuje się reguły logiki (fr. 210.). Jest to początek opisu wszechwładnego Rozumu. Rozum nie miesza się z niczym, gdyby bowiem z czymkolwiek się mieszał, mieszałby się ze wszystkim (bo jeśli coś się miesza z czymkolwiek, to miesza się ze wszystkim). Gdyby zaś tak było, rozum nie mógłby rządzić wszystkim, a zakłada się, że rządzi.

4.4. Hippon z Metapontu (także: z Samos, Region i Krotony): II poł. V w.

W starożytnym przypisie do Homera znajduje się jedyny cytat z Hippona z Metapontu, w którym tenże twierdzi, że wszelka woda pochodzi z morza. Jego dowód opiera się na sylogizmie barbara.

4.5. Filolaos z Krotony (~470 – ~400)

Pitagorejczyk Filolaos z Krotony dowodził, że każdy byt musi być zarazem ograniczony i nieograniczony. W dowodzie swoim (fr. 209.) posługiwał się spójkami koniunkcji i alternatywy nazwowej: istniejące jest ograniczone lub nieograniczone, lub ograniczone i nieograniczone zarazem; wiadomo, że istniejące nie jest ograniczone, wiadomo też, że nie jest nieograniczone; dlatego pozostaje tylko trzecia możliwość: jest takie i takie jednocześnie.

4.6. Diogenes z Apollonii (floruit 440–430)

U Diogenesa znajdujemy króciutki dowód jedności bytu (fr. 211.): wszystko jest tym samym, bo gdyby nie było, nie mogłoby się mieszać, a tymczasem wszystko może się mieszać.

4.7. Mowy podwójne

Mowy podwójne, po grecku Dissoi logoi, to krótki utwór nieznanego sofisty (12 stron u Dielsa), przedstawiający argumenty za i przeciw utożsamieniu dobra ze złem, piękna z brzydotą, sprawiedliwości z niesprawiedliwością, prawdy z fałszem i jeszcze kilku podobnych par. Wszystkie argumenty, choć jest ich wiele (w czterech fragmentach naliczyć można łącznie 27 kroków) przebiegają w podobny sposób: jeżeli tym samym jest np. dobro i zło, to jeżeli ktoś twierdzi że wyrządził rodzicom wiele dobra, to zarazem musi przyznać, że wyrządził im wiele zła. Jeżeli tym samym jest prawdziwe i fałszywe, to jeżeli ktoś twierdzi, że mówi prawdę, to musi przyznać, że kłamie. Jeżeli szpetne i piękne jest tym samym, to ponieważ oddawanie czci bogom jest piękne, jest to zarazem rzeczą szpetną.

4.8. Sokrates (470–399)

Sokrates według tradycji nie pisał niczego, wykładał tylko ustnie. Jego sposób nauczania i prowadzenia badań filozoficznych odtwarzany jest głównie na podstawie pism Platona i Ksenofonta, na podstawie Chmur Arystofanesa i Metafizyki Arystotelesa. Nie chcąc wchodzić tu w kwestię rozróżniania między tym, co jest własnym wkładem Platona i Ksenofonta, a tym co jest obrazem prawdziwego Sokratesa, zajmuję się ich pismami w rozdziałach zatytułowanych odpowiednio: „Arystofanes”, „Ksenofont” i „Platon”.

5. Medycyna: Hipokrates (~460 – ~370)

Wszystkie zachowane pisma medyczne z interesującego nas okresu (do r. 350 p.n.e.) zachowały się pod imieniem Hippokratesa z Kos. Nie oznacza to bynajmniej, iż był on ich autorem — nie wiadomo nawet, czy Hippokrates napisał którykolwiek z tych utworów. W skład Corpus Hippocrateum wchodzi ok. 60 pism (w tym np. słynna Przysięga Hipokratesa oraz aforyzmy, z najsłynniejszym — pierwszym — „Ars longa, vita brevis”). Nie wszystkie utwory z Corpus Hippocrateum zostały poddane analizie w niniejszej pracy (sprawa ta została omówiona wyżej). Wśród pism, które jej poddano (18 tytułów) w tylko dwóch krótkich utworach znalazłem zastosowania reguł logiki; są to Sztuka (fr. 14. i 15.) i O naturze ludzkiej (fr. 16.).

Utwory te różnią się w sposób istotny formą i tematyką od pozostałych utworów Corpus Hippocrateum. Ich tematyka bowiem, jakkolwiek związana z medycyną, jest przede wszystkim filozoficzna. Rozważa się tu naturę sztuki (medycznej, ale niekoniecznie) i człowieka, wchodząc w problematykę głęboko ontologiczną. Utwory te stoją najprawdopodobniej w bliskim związku z zachowanymi niestety tylko w drobnych fragmentach, utworami Gorgiasza pod tymi samymi tytułami. Nie znaczy to, że pochodzą one od Gorgiasza, czy jego ucznia — problem ten jest chyba niemożliwy do ustalenia.

Logika zawarta w tych fragmentach przypomina raczej logikę sokratyków niż logikę zachowanych fragmentów Gorgiasza. Być może wiąże się to z tematyką tych utworów, która podobnie jak w utworach sokratycznych Platona i Ksenofonta polega na rozważaniach definicyjnych (problemy istoty i przypadłości). Stosuje się tu reguły sylogistyczne oraz czasami modus tollens.

6. Retoryka: od Antyfonta (ur. ~480) do Demostenesa (ur. 384)

Zachowane utwory retoryczne (mowy sądowe, polityczne i okolicznościowe) sprzed r. 350 p.n.e. to dzieła sześciu autorów: Antyfonta, Lizjasza, Andokidesa, Izokratesa, Izajosa, Demostenesa. Łącznie stanowią one prawie 2,5 mln znaków (po wyłączeniu mów Demostenesa powstałych po r. 350). Do tej liczby należy doliczyć bardzo liczne mowy cytowane przez Tukidydesa. Jakiekolwiek fragmenty logiczne zachowały się jedynie u Antyfonta i Izokratesa.

6.1. Antyfon (~480 – 411)

Fragmenty Antyfon(t)a (tj. fr. 1–3.) pochodzą z jego Tetralogii. Tetralogie to trzy serie czterech mów sądowych, trzy kazusy. W każdej z Tetralogii mamy — jak w greckim procesie — pierwszą mowę oskarżycielską, pierwszą mowę obrończą, drugą mowę oskarżycielską i drugą mowę obrończą. Nie są to jednak mowy rzeczywiste (co widać choćby po ich krótkości — pozostałe mowy Antyfonta, pochodzące z rzeczywistych procesów, są znacznie dłuższe), ale przykłady możliwej argumentacji za i przeciw w pewnych abstrakcyjnych kazusach. Są one więc bardziej zbliżone do agonów dialektycznych (vide, niż do faktycznych retorycznych mów sądowych (mowy sądowe Antyfonta mają zupełnie inny charakter i nie ma w nich argumentacji logicznych).

Dwa pierwsze fragmenty (pochodzące z Tetralogii I) stanowią całość — drugi jest odpowiedzią obrony na pierwszy, włożony w usta oskarżyciela. Stosuje się tam wnioskowanie zgodne ze schematem określonym później jako modus tollens w wersji implikacyjnej i dysjunktywnej . Argument zawarty we fr. 3. oprócz dysjunktywnego modus tollens opiera się na przechodniości identyczności.

6.2. Isokrates (436–338)

U Izokratesa znalazłem tylko jedno użycie reguły logicznej, będące zarazem jedynym w retoryce (jeśli się wyłączy fragmenty Tetralogii Antyfonta, vide supra). Nawet jednak to jedyne wystąpienie jest mocno wątpliwe — znaleziony tu sylogizm camestres jest daleki od czystości, można zależnie twierdzić, że nie jest to rozumowanie logiczne, mówi się tu bowiem tyle: do niesłusznego oskarżenia (sykophantein) najskłonniejsi są ludzie wymowni a biedni (nie mający nic do stracenia). Nikiasz jest bogatszy od Euthynusa, a słabszy odeń w mowie. Nie ma więc powodu, by występował niesłusznie przeciw Euthynusowi.

7. Ksenofont (~428 – ~354)

Większość z fragmentów Ksenofontowych (9 z 15) pochodzi ze Wspomnień o Sokratesie (Memorabiliów), a ściślej z rozdziałów 4–7 księgi IV. Znajdują się tam one nieprzypadkowo, bo jak twierdzi Ksenofont, podejmuje się on pokazać „jak Sokrates czynił swych uczniów na coraz lepszych dialektyków” (ὡς δὲ καὶ διαλεκτικωτέρους ἐποίει τοὺς συνόντας — IV, 6, 1, fr. 21.), ucząc ich definiowania.

Reguły stosowane w dowodach zawartych w Memorabiliach to czysty rachunek nazw (sylogistyka). Raz tylko (we fr. 24.) używa się dowodu niewprost, jest on jednak także w konwencji nazwowej (sylogistycznej), a nie zdaniowej.

Podobny charakter ma dialektyczny wywód zawarty w Uczcie, gdzie Sokrates staje do zawodów o tytuł najpiękniejszego ze znanym z piękności Kritobulosem (Sędziradem). Sokrates dowodzi na rozmaite sposoby, że jest piękniejszy, bo każda część jego twarzy jest lepiej przystosowana do funkcji, jaką ma spełniać: wyłupiaste oczy lepiej widzą, zadarte nozdrza lepiej czują, perkaty nos nie zasłania oczom pola widzenia, a grube wargi lepiej całują.

Szczególną uwagę należy poświęcić Wychowaniu Cyrusa (Cyropedii), najstarszemu zachowanemu romansowi pedagogicznemu. Dzieło to jest powieścią, której głównym bohaterem jest Cyrus (Kyros), król perski z VI w. p.n.e. Ksenofont opisuje jego dzieciństwo i młodość jako wzór wychowania władcy.

Cyropedia jest czymś, co dziś nazywamy „powieścią z kluczem”. Jest ona w znacznej mierze pochwałą Cyrusa Młodszego (wnuka jej bohatera, Cyrusa Starszego), w którego armii służył niegdyś Ksenofont, podziwiając i uwielbiając swego wodza, co odnajdujemy też w Wyprawie Cyrusa (Anabazie), innym obszernym dziele Ksenofonta. Owa lektura „z kluczem” szczególnie pomocna jest w interpretacji początku księgi III. Znajdujemy tu opis sądu wojennego nad pokonanym królem Armenii, zbuntowanym wasalem perskim (działo się to przed okresem największego rozkwitu państwa Ormian, które wówczas — podobnie jak w naszych czasach — musiało walczyć o swoją niepodległość). We fragmencie tym (u nas fr. 28.) Cyrus wywodzi za pomocą złożonego, czteroprzesłankowego sylogizmu zawierającego m.in. koniunkcję nazwową, że król Armenii winien jest śmierci. Za ojcem wstawia się królewicz, Tigranes, towarzysz polowań młodego Cyrusa. Cyrus przyznaje rację Tigranesowi, że złych ludzi nie należy naśladować i wspaniałomyślnie darowuje życie jego ojcu, królowi.

Co najciekawsze, jeżeli zostaniemy przy czytaniu tej powieści „z kluczem”, znajdziemy tu kolejny przykład metody Sokratesowej. Niedaleko bowiem po tych słowach okazuje się, że i Tigranes, i Cyrus, obcowali w młodości z pewnym mędrcem (sophistes), towarzyszącym stale Tigranesowi. Mędrzec ów został niesłusznie skazany na śmierć za psucie młodzieży (tzn. Tigranesa), zabronił jednak Tigranesowi wszelkiego złorzeczenia przeciw królowi, który go tak potraktował, bowiem „nikt nie czyni zła z własnej woli, a tylko z niewiedzy”.

Poza fr. 29., w którym mamy tylko niedopowiedziany sylogizm celarent, pozostałe dwa fragmenty znalezione w Cyropedii również są interesujące. We fr. 30. jest wnioskowanie według reguły, że jeżeli czemuś przysługują sprzeczne przypadłości, to należy przeprowadzić dystynkcję tak, by tę sprzeczność usunąć: Araspas twierdzi, ponieważ jego dusza jest dobra i niedobra zarazem, musi mieć dwie dusze (bo nic nie może być dobre i niedobre zarazem). Nie spotkałem się z żadnym systemem formalnym, który pozwalałby na formalizację tego wnioskowania, choć jest ono znacznie powszechniejsze i naturalniejsze od podejścia stosowanego przez logiki parakonsystentne.

Ostatni z fragmentów znalezionych w Cyropedii to seria czterech użyć tzw. sylogizmów z terminem w przypadku zależnym (a recto ad obliquum) . Znajdują się one w opisie uczty, jaką Cyrus urządził swoim dowódcom po zdobyciu Babilonu. Cyrus „urządził biuro matrymonialne” wywodząc, jaka komu potrzebna jest żona.

Po fragmentach z Ksenofonta znajduje się jeszcze fragment z przypisywanego często Ksenofontowi utworu Rzeczpospolita Ateńska (Ustrój polityczny Aten). Jego autor, zwany też „Starym Oligarchą” wywodzi w nim m.in. skąd się wzięła szczególnie wysoka pozycja, jaką cieszą się niewolnicy w Atenach. Fragment ten został sformalizowany trochę „na wyrost”, trzy z czterech założeń zostały dopisane, nie występują w tekście explicite.

8. Platon (427–348)

W utworach Platona (bądź Platonowi przypisywanych, ale przez Trazyllosa uznawanych za autentyczne) znajduje się 127 ze 159 naszych fragmentów. Utwory Platona uszeregowane zostały w starożytności przez Trazyllosa w dziewięć tetralogii. W tej kolejności wydaje się je do dzisiaj i w niej będą się pojawiać u nas .

8.1. Eutyfron

Pierwszym utworem pierwszej tetralogii jest Eutyfron. Znajdujemy w nim jeden tylko, krótki fragment, w którym wywodzi się, że do definicji pojęcia „bogumiłe” (theophiles) nie należy „święte”, ani też odwrotnie, do definicji „świętego” nie należy „lubiane przez bogów”. Trudno jest dowód ten sformalizować zwięźle, bo terminem średnim jest tam „(będące takie jakie jest) bo lubiane przez bogów”; w swojej formalizacji próbuję to wysłowić przez „z definicji lubiane przez bogów”.

8.2. Fedon

Silnie nasycony logiką jest drugi dialog pierwszej tetralogii, Fedon. Znalazłem w nim osiem dowodów logicznych (fr. 34–41.).

Pierwsze dwa fragmenty dotyczą anamnezy: najpierw (fr. 34.) krótki dowód tego, że posiadaliśmy wiedzę już przed urodzeniem (skoro posiadaliśmy ją przed uzyskaniem zmysłów, a co było przed uzyskaniem zmysłów, to i przed urodzeniem), a potem (fr. 35.) dwustopniowy dowód niewprost tego, że wiedza jest przypominaniem (albo wszyscy wiemy przez całe życie, albo sobie przypominamy; ponieważ dowodzi się tu, że nie wszyscy wiemy, więc z tego wniosek, że przypominamy sobie wiedzę).

Kolejnym dowodem (fr. 36.) jest czteroprzesłankowy odpowiednik sylogizmu barbara, w którym Sokrates dowodzi, że dusza się nie rozkłada (a zatem jest nieśmiertelna).

Następny fragment (fr. 37.) jest rozbudowanym dowodem niewprost (z dwoma dowodami pośrednimi) na to, że dusza nie jest harmonią ciała. Przyjmuje się tu hipotezę, że dusza jest harmonią ciała i z tej hipotezy wyprowadza się wniosek absurdalny, że dusza nigdy nie może być zła; tymczasem na początku stwierdzono, że bywają dusze złe — stąd wniosek, że dusza nie może być harmonią. Fragment ten przeplata się z następnym fragmentem (fr. 38.), w którym na trzy sposoby dowodzi się tego samego: dusza nie jest harmonią ciała, bo harmonia podąża za swymi składnikami, a dusza nie, harmonia nie rządzi swymi składnikami, a dusza tak, harmonia nie przeciwstawia się swym składnikom, dusza zaś owszem.

Następnie (fr. 39.) mamy analogon sylogizmu celarent, jako argument pośredni w dowodzie nieśmiertelności duszy (dowodzi się, że potrójne nie jest parzyste, bo jest nieparzyste, a nieparzyste nie jest parzyste). Zaraz po nim następuje fr. 40., gdzie dowodzi się nieśmiertelności duszy z tego, że jest ona nośnikiem życia; mamy tu dość zaawansowany sylogizm krzyżowy, w którym z tego że rzecz będąca z natury nośnikiem czegoś nie może przyjąć przeciwieństwa tego, czego jest nośnikiem, że zaś dusza jest nośnikiem życia, a przeciwieństwo życia to śmierć, więc dusza nie może przyjąć śmierci.

Ostatni z fragmentów Fedona (41.) to trzykroć wyrażony dowód niezniszczalności duszy (odpowiednik sylogizmu barbara): najpierw ogólnie, potem szczegółowo (hipotetycznie), a wreszcie zrekapitulowany.

8.3. Teajtet

Teajtet jest jednym z najgęściej nasyconych dowodami logicznymi dialogów Platona. Pierwszy fragment (42.) to wyprowadzanie konsekwencji z tezy Protagorasa o tym, że człowiek jest miarą wszech rzeczy: skoro tak, to Sokrates, będąc człowiekiem, jest miarą wszech rzeczy, a także Teajtet, z tego samego powodu, również nią jest.

Drugi fragment (fr. 43.) składa się z dziewięciu kroków. Jest to słaby dowód niewprost (dowodzi się w nim tezy, że spostrzeżenie nie jest tym samym co wiedza). Zakłada się w nim hipotezę (spostrzeżenie jest tym samym co wiedza) oraz przesłankę, że kto pamięta, ten wie. Następnie z hipotezy i założeń dodatkowych w kilku krokach wyprowadza się zaprzeczenie przesłanki, że kto pamięta, ten wie, i na tej podstawie odrzuca się hipotezę.

We fragmencie 44. znajdujemy dowód błędny. Sokrates stwierdza w nim, że z założenia heraklitejczyków, że wszystko się zmienia, wynika, że wszystko się zarówno porusza fizycznie, jak i zmienia jakościowo, albowiem w przeciwnym razie równie uprawnione byłoby stwierdzenie, że wszystko jest w spoczynku. Tymczasem, wbrew Sokratesowi, nie jest to wystarczającym argumentem. Aby ten dowód był poprawny, potrzeba przejścia od stwierdzenia:

porusza się jednym z tych ruchów ↔ nie porusza się drugim z tych ruchów

do

porusza się ↔ nie porusza się.

Wprawdzie

porusza się jednym z tych ruchów → porusza się,

jednak nieprawda, że

nie porusza się jednym z tych ruchów → nie porusza się,

a tylko:

nie porusza się → nie porusza się żadnym z tych ruchów.

W następnym fragmencie (45.) przeprowadzony jest interesujący dowód niewprost, w którym pokazuje się, że skoro z koniunkcji dwóch hipotez wynika zdanie fałszywe, to jedna z nich implikuje negację drugiej. W ten sposób z hipotez „wszystko się zmienia” i „wiedza jest spostrzeganiem” wynika, że wiedza nigdy nie jest orzekana bezwzględnie (bowiem spostrzeganie również się wtedy zmienia, a co się zmienia nie może być orzekane bezwzględnie). Dlatego też jeżeli wszystko się zmienia, to wiedza nie jest spostrzeganiem.

Fragment 46. składa się z czternastu kroków; mamy w nim dowód tego, że poznanie zmysłowe nie dostarcza nam wiedzy. Oprócz pięciu zastosowań reguł dwuprzesłankowych mamy tu użycie reguły czteroprzesłankowej, z obfitym zastosowaniem negacji przynazwowej.

We fr. 47. mamy do czynienia z pojedynczym zastosowaniem odpowiednika sylogizmu baroco (wiedza jest prawdziwa, sąd nie zawsze jest prawdziwy, więc nie każdy sąd jest wiedzą).

Fragment 48. jest nieprzetłumaczalny; odrzuca się tu hipotezę, że sądzić fałszywie to wydawać sądy o przedmiotach nieistniejących. Jednak w dowodzenie bardzo silnie zaangażowana jest konstrukcja greckich zaimków i mnogość negacji (nazwowych i zdaniowych).

Z kolei we fr. 49. Sokrates odrzuca utożsamienie wiedzy z sądem prawdziwym za pomocą zdaniowej reguły, będącej odpowiednikiem implikacyjnego modus tollens: ponieważ p oraz jeżeli q to nie p, więc nie q.

Fragment 50. jest wstępem do fragmentu następnego. Eksplikuje się tu definicję wiedzy jako „sądu prawdziwego, mającego logos (uzasadnienie, dowód, definicję, ścisłe ujęcie)”: aby coś mogło być wiedzą, musi być wyrażone w logoi (słowach), więc składniki słów (głoski, litery) są niepoznawalne, nie mają definicji, a tylko nazwę własną.

Teraz następuje najbardziej rozbudowany dowód w Teajtecie i jeden z najciekawszych dowodów w tym zbiorze. Ogólna jego konstrukcja przedstawia się tak, że przedstawia się hipotezę, następnie równolegle dowodzi się dwa lematy, po to by wykazać, że ich koniunkcja implikuje negację hipotezy. Owe lematy są implikacjami, których poprzedniki stanowią dwa człony prawa wyłączonego środka. Ze względu na jego finezyjność analiza tego dowodu sprawiła najwięcej trudności ze wszystkich znajdujących się w tym zbiorze.

Hipotezą, którą się obali, jest koniunkcja: pierwiastki są niepoznawalne, zaś ich układy są. Jest to teza filozoficzna, mająca być eksplikacją stwierdzenia, że wiedza to umiejętność podawania prawdziwych definicji, czyli relacji między pojęciami niedefiniowalnymi. Przykładami elementów niedefiniowalnych są głoski (litery), które — jak twierdzi Sokrates — nie mają znaczenia (definicji), mają tylko nazwę.

W lemacie pierwszym przeprowadza się dowód, że skoro układ (sylaba) to nic innego, jak tylko elementy (litery), to z tego wynika, że elementy muszą być poznawalne. W lemacie drugim z kolei z założenia, że układ (sylaba) nie jest identyczny z elementami (literami) wywodzi się, że układ (sylaba) nie może być poznawalny.

Ponieważ układ (sylaba) jest lub nie jest elementami (na mocy prawa wyłączonego środka), więc założenie przynajmniej jednego z lematów jest prawdziwe; wystarczy zaś, że prawdziwym będzie wniosek jednego z lematów, by odrzucić hipotezę.

Dowód pierwszego lematu składa się z sześciu kroków, a wykorzystane są m.in. przechodniość implikacji i reguła odrywania. Drugi lemat dowodzony jest w sposób bardziej wyrafinowany, jego dowód składa się z trzynastu kroków i wykorzystuje sześć reguł: cztery operujące identycznością, regułę odrywania oraz ciekawą regułę quasi-sylogistyczną, w której obie przesłanki i wniosek są zdaniami przeczącymi (sylaba nie ma części, co nie ma części, nie jest poznawalne, więc sylaba nie jest poznawalna).

8.4. Parmenides

W dialogu Parmenides należy wyróżnić dwie części, różniące się zarówno stylistycznie (vide), jak i pod względem treści logicznej. Pierwsza część (jedna trzecia utworu) to typowy dialog średnio-Platoński, w którym Sokrates wspomina swoją dyskusję z Zenonem i Parmenidesem. Część druga, bardzo luźno związana z pierwszą (sprawiająca wrażenie sztucznie doczepionej) to ciąg wnioskowań, w których Parmenides (z wyłącznie przytakującym mu niejakim Arystotelesem) dedukuje konsekwencje kolejnych hipotez (pierwszą z nich jest hipoteza że Parmenidejskie Jedno istnieje).

W pierwszej części Parmenidesa znajdujemy jeden tylko fragment zawierający zastosowanie reguły logicznej (fr. 52.): jest to modus tollens (implikacyjne), w którym dowodzi się, że nie może istnieć wiele bytów (ma to być przesłanie książki Zenona z Elei).

Drugą część otwiera niezwykły fragment 53. Jest to ogromnie długa (ponad sto kroków) dedukcja, w której wyprowadza się wnioski na temat natury Eleackiego Jednego. Dedukcja ta w sposób oczywisty nawiązuje do dedukcji Melissosa — tak w treści filozoficznej, jak i w formie logicznej (vide).

Pozostałe dziesięć fragmentów logicznych również zawartych drugiej części Parmenidesa stoi w ogromnej dysproporcji do fr. 53., wszystkie one razem składają się bowiem jedynie z 35 kroków (sam fragment 53. zawierał 102 kroki). Wśród fragmentów tych wyróżnia się fr. 59., zawierający pięcioprzesłankowe wnioskowanie nazwowo-zdaniowe, gdzie z tego, że Jedno nie jest ani mniejsze, ani większe, wywodzi się, że jest ono równe.

8.5. Fileb

W Filebie znajdujemy jeden tylko fragment logiczny, zawierający wnioskowanie składające się z pięciu kroków i wykorzystujące dwie typowe reguły sylogistyczne, mianowicie barbara i celarent.

8.6. Uczta

W tym dialogu znaleźliśmy cztery fragmenty. Fragment 65. jest fragmentem mowy Eryksimacha, gdzie dowodzi on, iż harmonia nie może powstawać z elementów niezgodnych (jest bowiem konsonansem, a konsonans — zgodnością).

Pozostałe trzy fragmenty to wypowiedź Sokratesa. Najpierw (fr. 66.) w rozmowie z Agatonem Sokrates dowodzi, że Eros nie ma dobra. Dowód zbudowany jest w oparciu o predykację (sylogistyczne a) i koniunkcję. Występuje tu tzw. sylogizm krzyżowy (Erosowi brakuje piękna, rzeczy dobre są piękne, więc Erosowi brakuje tego co dobre).

Potem mamy dwa fragmenty pochodzące z rozmowy Sokratesa z Diotimą (jest to jedyny z dowodów przedarystotelesowych włożony w usta kobiety). Najpierw w pięciu krokach cytowana przez Sokratesa Diotima wywodzi, że Eros nie jest bogiem, bowiem bóg jest szczęśliwy, zaś szczęśliwy posiada dobra, Erosowi zaś (jak wyżej wykazano) brakuje dóbr. W drugim dowodzie mamy sylogizm krzyżowy (mądrość to piękno, Eros to miłośnik piękna, więc Eros to miłośnik mądrości) oraz odpowiednik sylogizmu barbara, z którego wynika, że Eros, będąc miłośnikiem mądrości, musi być pomiędzy mądrością a głupotą (jak każdy mądrości miłośnik).

8.7. Fajdros

W Fajdrosie zawarty jest jeden tylko fragment (69.), w nim jednak są na raz dwa dowody nieśmiertelności duszy. Pierwszy z nich można by nazwać dowodem z nieprzerwalności ruchu, drugi zaś dowodem ze źródła ruchu. Ponieważ wszystkie zdania (w ośmiu krokach, jakie tu zostały wyodrębnione) są zdaniami ogólnotwierdzącymi, więc jedynymi środkami dowodowymi może być sylogizm barbara lub jego odpowiedniki. W tym przypadku mamy jeden odpowiednik trój- i jeden czteroprzesłankowy.

8.8. Alkibiades I

Alkibiades I jest jednym z tych dialogów corpus Platonicum, których autentyczność często jest kwestionowana; kwestia ta została już wcześniej podniesiona w niniejszej pracy, nie będę więc tu do niej wracał. Należy tu odnotować, że brak Alkibiadesa I byłby znaczną stratą dla naszego zbioru, ze względu na ilość fragmentów logicznych, jaką ten, krótki przecież, dialog zawiera. Cień podejrzenia na ten dialog rzuca jego typowość; wystarczy bowiem analiza zawartej tu logiki, by wyprowadzić wniosek o całości rozumowań Sokratesa w dialogach platońskich; ktoś mógłby powiedzieć, że Sokrates z Alkibiadesa I jest „podobniejszy do oryginału niż «prawdziwy» Sokrates Platoński”.

Pierwsze cztery fragmenty z Alkibiadesa I (fr.fr. 70–73. to sylogizmy: dwa dwuprzesłankowe i dwa trójprzesłankowe. Zawierają one wzorcowe rozumowania sokratejskie: o wiedzy i jej posiadaniu, o cnocie i jej definicjach, o pięknym życiu i o tym, że sprawiedliwość przynosi korzyść.

Kolejny fragment (74.) jest bardziej złożony, zawiera cztery konkluzje, z których ostatnia jest konstatacją sprzeczności, do jakiej doprowadził Sokrates Alkibiadesa. Fragment dotyczy próby zdefiniowania pojęcia „dobry”, na sposób Sokratejski, czyli poprzez mądrość. Tymczasem przecież ludzie pod pewnymi względami są mądrzy, a pod innymi nie — więc ci sami ludzie są dobrzy i niedobrzy; nie wiadomo więc, kto jest dobry. We wnioskowaniu tym używa się wyłącznie reguł sylogistycznych. Jest to kolejny wzorcowy przykład wnioskowania à la Sokrates

Wnioskowanie we fragmencie 75. przebiega następująco: człowiek posługuje się swoim ciałem; czym innym jest posługujące się i to, czym się ktoś posługuje; człowiek jest zatem czym innym niż jego ciało. Fragment ten, choć krótki i zrozumiały, nie jest prosty w formalizacji. Przyjęliśmy tu formalizację w rachunku predykatów, jako regułę odrywania z podstawieniem za zmienne: „człowiek używa ciało, x używa y → x≠y więc człowiek≠ciało”. Aby jednak w pełni uwzględnić intuicje autora, należałoby wprowadzić dwuargumentową relację „używania” i jako drugą przesłankę przyjąć, że jej człony są z definicji różne. Mimo wszystko ten fragment również uznać można za typowe wnioskowanie Sokratesa, ze względu na jego podobieństwo do rozważań z Eutyfrona, gdzie w argumentacji korzysta się z różnic między „kochaniem bogów” i „byciem kochanym przez bogów”.

Fragment 76. to dowód tego, że człowiek jest identyczny ze swoją duszą. W sposób istotny wykorzystuje się tu alternatywę nazwową; w założeniu mamy dysjunkcję: człowiek jest duszą, ciałem lub całością złożoną z nich. Dowodzi się kolejno, że nie jest ani ciałem, ani całością, więc wnioskiem jest, że jest duszą.

Fragment 77. zawiera jeden tylko sylogizm, jest to jednak sylogizm-rekordzista, łańcusznik dziewięcioprzesłankowy. Sokrates dowodzi, a Alkibiades przytakuje, że nierozważni są nieszczęśliwi, bo są ignorantami odnośnie samych siebie, a tacy są ignorantami odnośnie własnych spraw, z kolei tacy nie znają się na sprawach innych, tacy zaś nie znają się na sprawach państwowych, zaś tacy nie są dobrymi politykami ani gospodarzami, z kolei tacy nie znają się na tym, co robią, ci błądzą, a błądzący wyrządzają zło, wyrządzający zło są zaś nieszczęśliwi.

Fr. 78. jest kolejnym fragmentem typowym dla Platońskiego Sokratesa, choć również, jak fr. 75., nastręczającym trudności. Używa się tu, spotykanego gdzie indziej, stwierdzenia, że niemożliwe jest, żeby dwie rzeczy były zaprzeczeniem (hypenantia) tej samej. Z tego „prawa” wnioskuje się, że skoro nierozwaga (aphrosyne) jest przeciwieństwem rozwagi (phronesis), podobnie jak szaleństwo (mania), to nierozwaga (aphrosyne) i szaleństwo (mania) muszą być tym samym. Jak widać, wnioskowanie to jest znacznie mniej subtelne niż sylogistyka Arystotelesa, która rozróżniała już przeciwieństwo od sprzeczności (przynajmniej odnośnie zdań). Tutaj negacja nazwowa wydaje się być rozumiana jednoznacznie — jako dopełnienie.

8.9. Hipparch

W Hipparchu, krótkim utworze o często podważanej autentyczności, znajdujemy dwa fragmenty zawierające zastosowania reguł logicznych. Za każdym razem dowodzi się w nich tego samego: wszyscy są zachłanni, każdy zysk jest dobrem.

We fragmencie pierwszym (79.) znajdujemy dwa paralogizmy: „strata jest złem, zysk jest przeciwieństwem straty, więc zysk jest dobrem” oraz „zachłannicy to miłośnicy zysku, zysk jest dobrem, więc zachłannicy to miłośnicy dobra”. W pierwszym przypadku z bycia przeciwieństwem pewnego zła nie wynika bycie przeciwieństwem wszelkiego zła. W drugim z bycia miłośnikiem pewnego dobra nie wynika bycie miłośnikiem wszelkiego dobra. Nie wiadomo, na ile owe błędy są istotnie niedopatrzeniem, a na ile mogą być one parodią rozumowań sokratejskich. Z pewnością prowadzenie rozważań niekwantyfikowanych (jak w zasadzie wszędzie u Platona; tutaj kwantyfikatory zapisane powyżej kursywą są oczywiście moim dodatkiem) znakomicie ułatwia popadnięcie w takie błędy. Z drugiej strony, nawet sylogistyka Arystotelesa nie radzi sobie z rozumowaniami takimi, jak te dwa: potrzeba tu jakiejś formy kwantyfikacji orzecznika lub przełożenia tych zdań na język rachunku predykatów.

W drugim fragmencie (fr. 80.) znajdujemy czteroprzesłankowy odpowiednik sylogizmu barbara.

8.10. Rywale (alias Miłośnicy)

Dialog ten, choć krótki, znany jest pod dwoma tytułami, jako Rywale (Anterastai) lub Miłośnicy (Erastai). Znajdujemy w nim tylko jeden fragment zawierający zastosowanie reguły logicznej (fr. 81.). Sokrates wykazuje w nim swojemu przyjacielowi, że filozofowanie nie jest zdobywaniem wiedzy o sztukach. Dzieje się tak dlatego, że filozofowie są dobrzy, zaś dobrzy są pożyteczni, a gdyby filozofowanie było wiedzą o sztukach, to filozofowie nie byliby pożyteczni (istnieją bowiem fachowcy, którzy lepiej się na sztukach znają niż filozofowie).

8.11. Charmides

Charmides zawiera znaczną porcję zastosowań logiki, bo aż dziewięć fragmentów (fr.fr. 82–90.). Jest on klasycznym przykładem, jak Sokrates rozważa ze swymi rozmówcami definicje cnót (w tym przypadku: rozwagi).

Pierwsze cztery fragmenty z Charmidesa (fr.fr. 82–85.) to sylogizmy dwuprzesłankowe, w których dowodzi się rozmaitych właściwości rozwagi (sophrosyne): spokój nie jest rozwagą (fr. 80.), rozwaga jest pięknem (83.), rozwaga jest nie mniej szybkością niż spokojem (84.) oraz rozwaga nie jest wstydem (85.). W dwóch z tych rozumowań (83. i 85.) oprócz typowych spójek sylogistycznych w formalizacji użyto funktora nieidentyczności (≠).

We fr. 86. znajdujemy rozważanie trudniejsze. Celem dowodu jest obalenie twierdzenia, że rozwaga to „robić swoje”. Wykorzystuje się w tym celu dość skomplikowaną regułę, zawierającą relacje „x robi y” i „x pisze y”: „niektóre A pisze nie-B, każde piszące x jest robiące x, więc niektóre A nie robi B”. Wnioskowanie to nie mieści się w sylogistyce, do jego formalizacji potrzeba rachunku predykatów.

Kolejne dwa fragmenty (87. i 88.) zawierają tylko rozumowania sylogistyczne. Dowodzi się w nich kolejno, że rozważny czasem tworzy coś cudzego (kontynuacja fr. 86.), robota nie zawiera się w pracy (bo Hezjod pisze, że żadna praca nie hańbi, tymczasem pewne zajęcia w sposób oczywisty hańbią — np. prostytucja).

Fragment 89. nie zawiera żadnego dowodu, a tylko ukazanie sprzeczności. Członami sprzeczności są — z jednej strony — definicja „rozważny to znający siebie” i — z drugiej — zbiór zdań: lekarz działa pożytecznie, działający pożytecznie robi to, co trzeba, a robiący to, co trzeba jest rozważny. Ponieważ z tego zbioru zdań wynika sylogistycznie, że rozważny czasem nie zna siebie, mamy dowód sprzeczności. Fragment ten kończy się ciekawą konstatacją (w przekładzie Witwickiego):

„Ale jeśli ty uważasz, że z tego, na com się poprzednio zgodził, to z konieczności wynika, to ja bym może coś z poprzednich twierdzeń zmienił — nie wstydziłbym się przyznać się, żem coś niesłusznego powiedział raczej, niżbym się kiedy zgodził, że człowiek, który siebie samego nie zna, jest rozważny”.

W ostatnim z fragmentów Charmidesa Sokrates pokazuje Krytiaszowi trudności, jakie powoduje przyjęcie definicji rozwagi jako wiedzy o tym, czy ktoś wie, czy nie wie (wiedzy o wiedzy). W dowodzie tym pokazuje się absurdalność istnienia takiej samoodnoszącej się wiedzy, ponieważ nic nie może być większe od samego siebie. Rozumowanie jest bardzo ciekawe z dwudziestowiecznego widzenia, jako argument przeciwko mieszaniu poziomów świata i języka.

Dowód przebiega tu następująco:

Zał. 1:

jeśli pewne x jest większe od y, to zarazem x jest większe od y i y jest mniejsze od x

Stąd:

jeśli pewne x jest większe od x, to zarazem x jest większe od x i x jest mniejsze od x,

Zał. 2:

(dla dowolnych x i y) nieprawda, że x jest większe od y i x jest mniejsze od y.

Stąd:

żadne x nie jest większe od x.

8.12. Laches

W tym, podobnym do Charmidesa, utworze znajdujemy tylko dwa fragmenty zawierające użycie reguł logicznych: fr. 91., gdzie w pięciu krokach, przy użyciu dwóch sylogizmów, dochodzi się do wniosku, że wytrwałość nierozsądna nigdy nie może być męstwem, zaś we fr. 92. w trzech krokach streszcza się ten sam wywód (fragment ten jest kontynuacją poprzedniego, dzieli je lista przykładów, w których rozmaita odwaga i wytrwałość nie okazuje się być męstwem, brakuje w niej bowiem rozsądku).

8.13. Lyzis

W dialogu tym, podobnym w formie Charmidesowi i Lachesowi, znajdujemy jeden tylko fragment zawierający użycie reguł logicznych (fr. 93.), za to fragment dość rozbudowany. Wyróżnić w nim można trzy pomniejsze fragmenty, umieszczone jeden po drugim i przyporządkowane wspólnemu celowi.

Obala się tu tezę, że podobne ciągnie do podobnego, a zatem ludzie dobrzy są przyjaciółmi dobrych. Nie jest tak, ponieważ:

1. z tego, że są podobni, nie wynika, że są przyjaciółmi
2. z tego, że są dobrzy, również to nie wynika,
3. co więcej: dobrzy nie szanują się nawzajem.

Każdy z tych dowodów jest sylogizmem, odpowiednio: trój-, pięcio- i znowu trójprzesłankowym.

8.14. Eutydem

Dialog ten uchodził w starożytności za podręcznik erystyki, protoplastę De Sophisticis Elenchis Arystotelesa. Znaleźliśmy w nim aż czternaście fragmentów (fr.fr. 94–107.) — pod względem stosunku ilości fragmentów do objętości utworu zajmuje on pierwsze miejsce wśród wszystkich utworów naszego corpus (tuż przed krótszym odeń Charmidesem).

W pierwszym fragmencie (94.) sofista Eutydem pokazuje, że niezależnie jak Kleiniasz (młody towarzysz Sokratesa, brat stryjeczny Alkibiadesa) odpowiedziałby na jego pytanie, czy uczą się mądrzy, czy głupi, on i tak obali jego odpowiedź. Gdy Kleiniasz odpowiedział, że uczą się mądrzy (wiedzący), to z założeń, że uczący się nie są wiedzący, niewiedzący nie są mądrzy i niemądrzy są głupi, Eutydem wyprowadził wniosek, że uczący się są głupi. W sposób istotny operuje się tu negacją przynazwową, stąd zastosowana tu reguła zawiera aż dwa założenia przeczące (a jedno twierdzące), a mimo tego wniosek jest twierdzący.

We fr. 97. Sokrates w pięciu krokach wywodzi Kleiniaszowi, że bez rozsądku i mądrości żadne dobra nie dają korzyści, a tylko szkodzą (a zatem lepiej być głupcem ubogim niż głupcem bogatym). Mamy tu wielokrotną przechodniość orzekania (czteroprzesłankowy analogon sylogizmu barbara).

We fr. 98. Eutydem „dowodzi” Sokratesowi, że chcąc, by Kleiniasz się uczył, chce go zabić. Sofizmat ów jest zbudowany poprawnie od strony logicznej, a trudność kryje się w warstwie semantycznej (Sokrates chcąc, by Kleiniasz się uczył, chce by był inny niż jest, a więc żeby nie był już taki, jaki jest, a zatem by Kleiniasza już nie było, czyli by był martwy).

Fragment 99. z kolei zawiera argumentację w piętnastu krokach, z której wynika, że nie da się mówić nieprawdy. Wśród reguł sylogistycznych mamy tu użycie reguły dowodzenia niewprost: skoro przyjęcie pewnej hipotezy prowadzi do sprzeczności, to należy ją odrzucić. Wniosek, jaki tu pada, jest ściśle uzależniony od języka greckiego, w którym „nieprawda” to „to, czego nie ma”, a zatem nie da się tego powiedzieć (bo nie da się robić czegoś, czego nie ma).

Fr. 100. to z kolei zastosowanie analogonu sylogizmu celarent, w którym dowodzi się, że niewiedza nie istnieje, bo nie istnieje błędne mniemanie, zaś niewiedza jest błędnym mniemaniem.

We fragmencie 101. występuje explicite wysłowiona zasada niesprzeczności: Eutydem mówi, że Sokrates nie może czegoś nie wiedzieć, ponieważ byłby wtedy wiedzący i niewiedzący jednocześnie, a nic nie może być jakieś i nie być takie zarazem. Stwierdzenie to wykorzystuje się jako uzasadnienie dla stosowania mocnego dowodu niewprost.

Fragment 102. to opis, jak Eutydem przekonuje Sokratesa, że ten od zawsze wiedział wszystko. Sokrates w ciekawy sposób wykazuje wszystkie dwuznaczności, w które chce go wciągnąć Eutydem, daje się jednak poprowadzić, dając jednak znać czytelnikowi, że nie traktuje tego poważnie:

„Ja zrozumiałem, że on się na mnie gniewa, że ja tu uważam na znaczenia wyrazów, a on mnie chce upolować, więc mnie wyrazami obstawia. […] A ponieważ zamierzałem i do tego tutaj chodzić na lekcje, pomyślałem sobie, że trzeba mu ustąpić, aby mnie nie uznał za tępego i nie odmówił mi przyjęcia”.

Wnioskowanie jest tu przeprowadzone prostymi metodami, jako przechodniość relacji orzekania (analogony sylogizmu barbara: pięcioprzesłankowy i trójprzesłankowy).

Natomiast we fr. 103. zastosowane są paralogizmy, tryb który można nazwać „calerent”: z tego że Sofroniskos (ojciec Sokratesa) jest ojcem, zaś Chajredemos (ojciec Kleiniasza) nie jest Sofroniskosem, wyprowadza się, że nie jest on ojcem, co jest oczywistą nieprawdą (zaś jeśli Chajredemos jest ojcem, to nie jest nim Sofroniskos, różny wszak od ojca).

Fragmenty 104. i 105. zawierają użycia sylogizmu barbara, z których wynika, że złoto trzeba mieć zawsze i wszędzie (bo jest dobrem, a dobro zawsze jest potrzebne) i że suknie są obdarzone wzrokiem (bo są widziane, zaś to, co widziane, jest obdarzone wzrokiem). Ów drugi przykład w silnym stopniu zależy od specyfiki języka greckiego, w którym dynaton horan (tu tłumaczone jako „obdarzone wzrokiem”) może znaczyć zarówno „widzące”, jak i „widzialne”.

Fragment 106. zawiera z kolei wysłowienie prawa tożsamości: „to samo jest to samo, a coś innego to coś innego”.

We fr. 107. mamy zaś próbę zmuszenia Sokratesa przez Eutydema do stwierdzenia, że może robić z bogami, co mu się podoba, bowiem skoro Sokrates ma bogów, a bogowie są żywi i posiadani, to może z nimi robić, co mu się podoba, podobnie jak z pozostałym żywym inwentarzem.

8.15. Protagoras

W dialogu Protagoras znaleźliśmy siedem fragmentów (fr. 108–114.).

W pierwszym fragmencie powraca problem, czy jedna rzecz może mieć kilka przeciwieństw (vide fr. 78. i 79.). Sokrates stwierdza, a Protagoras się zgadza, że „jedno jest przeciwne tylko jednemu, wielu natomiast nie” (przekład Regnera). Na tej podstawie Sokrates wywodzi, że mądrość jest identyczna z rozwagą (bo mają wspólne przeciwieństwo: nierozwagę). Należy więc rozstrzygnąć, czy należy odrzucić dystynkcję między mądrością i rozwagą, czy też „prawo”, że jedna rzecz może mieć tylko jedno przeciwieństwo.

We fr. 109. mamy ciekawy przykład roli sylogistyki. Jest to rozumowanie przerwane: wyrażone są trzy przesłanki, ale wniosek nie pada. Zirytowany Protagoras nie zamierza kontynuować dyskusji w sposób narzucony przez Sokratesa. Brak kontynuacji daje silny efekt dramaturgiczny.

W kolejnym fragmencie (110.) Sokrates uzasadnia słuszność swej definicji obawy jako tego, czego wszyscy unikają; robi to za pomocą przechodniości orzekania, czyli analogonu sylogizmu barbara. Z kolei we fr. 111. wprowadza rozróżnienie między sposobem, w jaki idą do bitwy odważni, ze sposobem, w jaki robią to tchórzliwi: jedni robią to chętnie, a drudzy niechętnie.

We fr. 112., oprócz sylogizmu barbara znajduje się ciekawe rozumowanie sylogistyczne wykorzystujące koniunkcję nazwową (iloczyn), zbliżone do reguły dodawania koniunkcji w następniku. Wnioskuje się tu, że A jest B, A jest C, B i C jest D, więc A jest B i C i D.

Fragmenty 113. i 114. wykorzystują w sposób istotny negację przynazwową: w pierwszym dowodzi się w czterech krokach, że strach i zuchwalstwo odważnych jest dobre (bo nie jest brzydkie, a co niebrzydkie jest piękne, piękne zaś dobre), w drugim zaś (bezpośrednio potem) dowodzi się, że wiedza o zagrożeniu jest odwagą, skoro lękliwość jest niewiedzą co do nich, a odwaga jest przeciwieństwem lękliwości.

8.16. Gorgiasz

Gorgiasz zawiera osiem fragmentów (fr. 115–122.). Pierwszy z nich to prosta dystynkcja między wiedzą i wiarą (pierwsza bywa prawdziwa i fałszywa, a druga nigdy). W drugim (116.) za pomocą sylogizmów barbara i celarent dowodzi się, że (prawdziwy) retor nie pragnie niesprawiedliwości. Trzeci to dystynkcja między brzydszym i gorszym: nie mogą być tym samym, skoro krzywdzenie jest gorsze od krzywdy, ale nie jest od niej brzydsze.

Trzy kolejne fragmenty: 118., 119. i 120. tworzą jedną, bardzo rozbudowaną całość, składającą się z 37 kroków (odpowiednio: 8, 14 i 15). Choć następują bezpośrednio po sobie, nie stanowią jednego dowodu, ale trzy osobne. We fr. 118. Sokrates dowodzi Polosowi, że lepszą rzeczą jest doznawać niesprawiedliwości, niż ją popełniać, a zatem nie ma pożytku z retoryki, uczącej jak obronić swą sprawę za wszelką cenę. Dowód jest przeprowadzony za pomocą reguł sylogistyki wykorzystującej spójnik alternatywy nazwowej (sumy mnogościowej) i koniunkcji nazwowej (iloczynu mnogościowego). Dowód przeprowadza się drogą eliminacji: do wyboru mamy, że krzywdzenie jest od krzywdy albo boleśniejsze, albo gorsze, albo boleśniejsze i gorsze zarazem. Ponieważ dwa wyjścia są odrzucane, zostaje tylko trzecie, czyli że krzywdzenie jest gorsze od krzywdy. Z tego z kolei wyprowadza się wniosek, że nie jest ono preferowane, bo gorsze i brzydsze nie jest przez nikogo preferowane.

We fr. 119. przeprowadzony jest dowód, że kto ponosi karę, odnosi pożytek. W dowodzie wykorzystywana jest alternatywa nazwowa oraz sylogizmy krzyżowe (np.: słusznie karany doznaje sprawiedliwości, sprawiedliwość to piękno, więc słusznie karany doznaje piękna).

Fragment 120. to z kolei dowód tego, że ponoszący karę uwalnia się od największego zła. Ciekawe w tym dowodzie jest to, że konkluzja jest wyrażona na samym początku, potem zaś systematycznie przeprowadza się jej dowód. Jądrem dowodu jest konstatacja, że trzy są rodzaje zła (krzywd): zło bogactwa, zło ciała i zło duszy, z nich zaś najgorsze jest zło duszy (to przyjmuje się bez dowodu). Z tego, że złem duszy jest niesprawiedliwość drogą wielu przejść dochodzi się do stwierdzenia, że niesprawiedliwość jest największym złem. Ponieważ zaś ponoszący karę uwalnia się od zła duszy (czyli niesprawiedliwości), więc uwalnia się od największego zła.

We fragmencie 121. Sokrates dowodzi Kalliklesowi w 23 krokach, że kto szuka szczęścia, powinien szukać mądrości, bo jest ona niezbędna do szczęścia: człowiek przeciwny mądremu (sophron), czyli nieopanowany (akolastos) musi być z konieczności nieszczęśliwy. W pierwszej części tego dowodu wykazuje się, że tym, co wnosi dobro jest ład, porządek (kosmos). Następnie stąd przechodzi się do stwierdzenia, że dusza dobra jest tożsama z duszą mającą porządek (kosmos). A ponieważ dusza uporządkowana (kosmia) jest tożsama z duszą mądrą, rozsądną (sophron), więc dusza mądra musi być i dobra (a niemądra — zła).

W następnej fazie dowodu podmiotem z duszy staje się człowiek. Uzasadnia się tu, że mądry to taki, co postępuje względem bogów i ludzi tak, jak się godzi, a zatem sprawiedliwy i pobożny. Po paru kolejnych krokach okazuje się że człowiek taki jest szczęśliwy. Jako że równolegle były analizowane cechy człowieka będącego przeciwieństwem takiej osoby, uzyskujemy wniosek, że nieopanowany (tj. nierozsądny, niemądry) musi być nieszczęśliwy.

Ostatni fragment z Gorgiasza (122.) to przechodniość implikacji: z trzech przesłanek implikacyjnych wyprowadza się czwartą.

8.17. Menon

W Menonie znajdujemy trzy fragmenty (123–125.). Pierwszy z nich stanowi rozbudowany dowód twierdzenia, że cnoty można nauczyć. Dowód ten składa się z trzech partii. W pierwszej, po postawieniu problemu: „czy cnota jest nauczalna, tzn. czy można jej nauczać i uczyć się?” przeprowadzony jest dowód nauczalności cnoty przy założeniu (hipotezie), że jest ona wiedzą: jeżeli jest, to jest nauczalna, bo wiedza jest nauczalna. Następnie Sokrates dowodzi owej hipotezy: cnota jest wiedzą, czyli mądrością (episteme) i rozsądkiem (phronesis), których to wyrażeń używa się tu zamiennie (vide fr. 88b1–6 i 97b5–7). Dowód hipotezy, że cnota jest wiedzą, zaczyna się od dowodu, że cnota jest pożyteczna: jest, bo cnota jest dobrem, a dobro jest pożyteczne . W trzeciej części z tego dowodzi się, że cnota jest wiedzą, bowiem to co w duszy pożyteczne, to wiedza, cnota zaś jest pożyteczna.

We fr. 124. obala się dowód przeprowadzony we fr. 123.: cnota nie jest wiedzą, bowiem nie jest nauczalna. Wiemy zaś, że nie jest nauczalna stąd, że nie ma ona uczniów ani nauczycieli, a wszystko co nauczalne ma uczniów i nauczycieli. Ciekawe w tym dowodzie jest to, że na siedem kroków tylko jeden jest twierdzący, wszystkie pozostałe zaś są przeczące. Jest to możliwe dzięki wykorzystaniu negacji nazwowej i konstruowaniu zdań typu „niemające nauczycieli nie ma uczniów”.

W ostatnim fragmencie z Menona mamy podsumowanie rozważań o cnocie, jej istocie i pochodzeniu. Składają się na nie dowód, że nie jesteśmy dobrzy z natury i dowód, że cnota nie jest wiedzą, a zatem jest słusznym mniemaniem.

Tezę, że nie jesteśmy dobrzy z natury (physei) dowodzi się w ten sposób, że najpierw, poprzez dwa sylogizmy barbara, dowodzi się że ludzie są dobrzy dzięki wiedzy i słusznemu mniemaniu. Ponieważ żadne z nich nie przychodzi ludziom z natury (physei), dobroć sama też nie jest naturalna.

Następnie Sokrates dowodzi, że cnota nie jest wiedzą (bo nie ma nauczycieli), a zatem jest słusznym mniemaniem (bo dobro dzieli się na wiedzę i słuszne mniemanie).

8.18. Hippiasz większy

Hippiasz większy to dialog między Sokratesem a sławnym sofistą Hippiaszem. Hippiasz w rozmowie z Sokratesem opowiada, dlaczego nie udało mu się zarobić na Lacedemończykach, znanych z niechęci do wszelkiej nauki: przyczyną tego miało być prawo spartańskie, które zabrania obcego wychowania. Sokrates dowodzi, że wobec tego Lacedemon nie może być praworządny, bo praworządny ceni cnotę, a ceniący coś, ceni też dobrych nauczycieli tego, zaś jak wiadomo — Hippiasz jest najwspanialszym nauczycielem cnoty — jak podrwiwa Sokrates, a Hippiasz potwierdza. W drugiej partii tego fragmentu Sokrates wywodzi Hippiaszowi, że skoro wychowanie u Hippiasza jest pożyteczniejsze, to jest ono bardziej legalne w Lacedemonie, niż narodowe wychowanie spartańskie. Hippiasz się na to zgadza w swoim zaufaniu, nie zauważając, że w ten sposób popada w sprzeczność.

W drugim fragmencie (127.) Sokrates z Hippiaszem szukają definicji piękna. Rozumowanie doprowadza ich do wniosku, że piękno kryje się w zdolności (dynamis): co zdolne to piękne, a co niezdolne (adynaton), nie jest piękne.

W następnym fragmencie (128.) Sokrates obala owo ustalenie, dowodząc, że kto coś czyni, jest w możności (jest zdolny do tego). Robiący coś czasami jest zły. Ponieważ zły nigdy nie jest piękny, więc mogący nie jest pięknym.

We fragmencie kolejnym (129.) kontynuuje się te rozważania; Sokrates poprawia poprzednią definicję po to, by doprowadzić ją do sprzeczności. Najpierw poprawia definicję piękna ze „zdolne jest piękne” na „zdolne do dobrego jest piękne”. Następnie w piętnastu krokach wyprowadza stąd tezę, że piękno nie jest dobre, co jest w sprzeczności z założeniem, że piękno jest tożsame z dobrem. Z tej sprzeczności wywodzi się z kolei fałszywość hipotezy, wykorzystanej w dowodzie, że pożyteczne jest tożsame z pięknem. Środki stosowane w tym dowodzie nie są złożone: są to proste sylogizmy dwu- i trójprzesłankowe, a oprócz klasycznych spójek sylogistycznych (ogólnych: odpowiedników a i e) wykorzystuje się tu też identyczność.

Kolejny fragment (130.) jest za to bardzo wyrafinowany. Przedmiotem dowodu jest teza, że cecha przysługująca elementom zbioru nie musi przysługiwać całemu zbiorowi i odwrotnie: „nie ma bezwzględnej konieczności, […] żeby i każde z dwóch było tym, czym są oba, ani żeby oba były tym samym, czym każde z dwóch” (przekład Witwickiego). Dowody w obie strony przebiegają równolegle, w ten sam sposób, dlatego wystarczy opisać jeden z nich. Przebiega on niewprost. Najpierw hipotetycznie zakłada się, że jeżeli coś przysługuje parze, to przysługuje każdemu z jej składników. Następnie stwierdza się fakt: Sokrates jest jednym i Hippiasz jest jednym. Ponieważ jedno jest nieparzyste, z hipotezy wynika, że para Sokrates i Hippiasz jest nieparzysta. Skądinąd wiadomo, że każda para jest parzysta, zatem para Sokrates i Hippiasz także. Z tej sprzeczności wynika fałszywość hipotezy.

W drugą stronę dowód przebiega następująco: najpierw hipotetycznie się zakłada, że jeżeli coś przysługuje każdemu ze składników pary, to przysługuje też parze. Następnie stwierdza się fakt, że zarówno Sokrates jest jednym, jak i Hippiasz jest jednym. Ponieważ jedno jest nieparzyste, wynika stąd, że tak Sokrates, jak i Hippiasz są nieparzyści. Na mocy hipotezy uzyskujemy, że para: Sokrates i Hippiasz jest nieparzysta. Tymczasem para owa, jak każda inna para, jest parzysta. Uzyskujemy sprzeczność, która obala hipotezę.

We fr. 131. Sokrates obala tezę, że piękno to przyjemność pożyteczna. Mamy tu dowód niewprost: Sokrates trudzi się tylko tyle, by wykazać, że owa hipoteza prowadzi do absurdalnego dla Greka wniosku, że ani dobro nie jest pięknem, ani piękno dobrem. Wprawdzie konkluzja nie pada explicite, jest jednak oczywista: sapienti sat.

8.19. Hippiasz mniejszy

Krótki ten dialog zawiera aż trzy długie fragmenty logiczne. Stawia go to na pierwszym miejscu w zestawieniu długości fragmentów logicznych do całkowitej długości tekstu wśród wszystkich utworów naszego corpus.

W pierwszym fragmencie (132.) Sokrates dowodzi Hippiaszowi (temu samemu, co w Hippiaszu Większym), że dobrze kłamać może tylko człowiek mądry. Jest tu zastosowana tylko jedna reguła, mianowicie pięcioprzesłankowa przechodniość orzekania, czyli łańcusznik, będący rozszerzeniem sylogizmu barbara.

W drugim fragmencie (133.) Sokrates obala twierdzenie Hippiasza, że Achilles był lepszym od Odyseusza, bo Odyseusz był kłamcą. Pod koniec dowodu używa reguły, którą można utożsamić z ω-regułą: (dobry) kłamca w rachunkach jest (dobrym) prawdomówcą w rachunkach; (dobry) kłamca w geometrii jest (dobrym) prawdomówcą w geometrii i tak dalej, zatem (dobry) kłamca jest (dobrym) prawdomówcą. Inną ciekawą regułą, jaką można tu znaleźć, jest przejście od „nie-A nie jest B” do „B jest A”, czyli pewna forma kontrapozycji.

W ostatnim fragmencie z Hippiasza mniejszego (134.), Sokrates i Hippiasz dochodzą do absurdalnego wniosku, ze najlepsi ludzie są zarazem najgorszymi. Zaraz po tym fragmencie następuje znana konkluzja Sokratesa, że nigdy nie udaje mu się dojść do wniosków konstruktywnych. Argumentacja ta składa się z 11 kroków, z których większość to ciekawa reguła siedmioprzesłankowa, wykorzystująca w sposób istotny alternatywę nazwową, identyczność i implikację.

8.20. Ijon (Ion)

W dialogu tym znaleźliśmy dwa fragmenty, położone jeden przy drugim (liczące w sumie 8 kroków). W pierwszym (135.) Sokrates dowodzi Ijonowi, że znając na pamięć Homera, winien być też najlepszym znawcą sztuki wojennej (stosuje się tu sylogizm barbara).

We fragmencie drugim (136.) Ijon postawiony jest przed wyborem: albo posiada umiejętność, techne, zawartą w dziełach Homera i — ukrywając to — nie chce służyć ojczyźnie, albo też działa pod boskim natchnieniem i wówczas sztuki nie posiada. Wyrażone przesłanki są redundantne — pozwalają przeprowadzić dowód dwiema ścieżkami: albo poprzez rozszerzoną regułę odrywania, albo poprzez modus tollens dla alternatywy rozłącznej. W pierwszym przypadku wniosek ~p dowodzi się z przesłanek p→r, s→~r, s, w drugim zaś z przesłanek p→r, r⊻~s, s.

8.21. Rzeczpospolita (Państwo), księga I

Pierwszą księgę Rzeczpospolitej traktuje się zwykle jako dialog wcześniejszy, do którego później dopiero Platon dopisał pozostałe dziewięć ksiąg, dlatego omówimy ją osobno. Jest to o tyle usprawiedliwione, że w pierwszej księdze znajdujemy cztery fragmenty, a we wszystkich pozostałych siedem.

W pierwszym z tych fragmentów (137.) Sokrates, w dyskusji z Polemarchem, odrzuca teorię, w myśl której sprawiedliwość to wspomagać przyjaciół, a szkodzić wrogom. Fragment składa się z aż 25 kroków, w których wyróżniliśmy 10 zastosowań reguł logicznych. Oprócz sylogizmów (dwa razy darii, celarent i camestres) znajdujemy tu aż sześć przykładów tzw. sylogizmów krzyżowych. Wnioskowań tych nie da się oddać bezpośrednio w sylogistyce Arystotelesa, bowiem występują w nich zdania, których nie da się sprowadzić wprost do zdań typu „A jest B”, ponieważ wówczas dowód non sequitur. Na przykład w argumencie „sprawiedliwość jest wspomaganiem przyjaciół, niektórzy źli są przyjaciółmi, więc sprawiedliwość jest czasem wspomaganiem złych” ma postać „A jest B(C), niektóre D są C, więc niektóre A jest B(D)”. Owe sześć wystąpień to jedna piąta wszystkich wystąpień takich reguł w tekstach prearystotelesowych (kolejne pięć jest w pozostałych fragmentach I ks. Rzeczypospolitej, a tylko 20 we wszystkich pozostałych utworach przedarystotelesowych).

Kolejny fragment (138.) składa się z trzynastu kroków. Sokrates dowodzi w nim Trazymachowi, że człowiek niesprawiedliwy, chcący posiadać jak najwięcej, jest głupi. Tu również pojawiają się (dwa razy) sylogizmy krzyżowe, bowiem podstawowymi pojęciami wykorzystywanymi w dowodzie są „podobny do x” i „chcący przewyższać x”, a więc pojęcia typowo relacyjne.

We fr. 139. mamy jedną regułę i jest to również sylogizm krzyżowy: „niesprawiedliwy jest wrogiem sprawiedliwych, bogowie są sprawiedliwi, więc niesprawiedliwy jest wrogiem bogów”.

Z kolei fr. 140. składa się z 18 kroków. Sokrates dowodzi tu Trazymachowi, że sprawiedliwość przynosi szczęście i pożytek. Znowu padają tu sylogizmy krzyżowe (tym razem dwa). Oprócz nich mamy zwykłe sylogizmy: barbara (trzy razy), celarent i pewną odmianę sylogizmu barbara, w którym orzecznik jest najpierw koniunkcją nazwową (w przesłance większej), a potem jednym z jej członów (w konkluzji).

8.22. Rzeczpospolita, księgi II–X

W księdze II znajdujemy ciekawe rozumowanie (fr. 141.), w którym Sokrates wraz z Adejmantem dochodzą do wniosku, że bóg nie może być przyczyną zła (jedno z pierwszych zastosowań logiki w teodycei) oraz (równolegle), że jest przyczyną dobra. Wykorzystuje się tu w sposób istotny negację przynazwową, dowodząc, że „dobre nie jest szkodliwe, nieszkodliwe nie jest szkodzące, nieszkodzące, nie robi zła, nierobiące zła nie jest przyczyną zła, więc dobro nie jest przyczyną zła”. Dzięki temu wśród czterech przesłanek i wniosku nie ma ani jednego zdania twierdzącego. Oprócz tego znajdujemy tu głównie reguły sylogistyczne.

Kolejny fragment (142.) znajdujemy dopiero w ks. IV, a i to można nazwać raczej dystynkcją niż sylogizmem. Sokrates pokazuje tu Glaukonowi, że dusza ludzka dzieli się na dwie części, pożądliwą i rozumną, bowiem jedna z nich nakazuje coś, a druga tego zabrania (nie są więc identyczne).

W księdze piątej znajdujemy to samo (fr. 143.), tyle że tym razem przeprowadza się dystynkcję pomiędzy wiedzą i mniemaniem (tylko wiedza jest nieomylna).

Ostatnia księga Rzeczypospolitej różni się od pozostałych „późnych” ksiąg tym, że jest w niej tyle fragmentów logicznych, co w Księdze Pierwszej. Nasuwa to podejrzenie, że również jest ona starsza od pozostałych (być może Platon napisał najpierw dwa utwory, a potem połączył je dopisując środkowych osiem ksiąg?), nie mamy jednak na to żadnych dowodów.

We fr. 144. znajdujemy dowód, że sztuki naśladowcze nie działają na rozum, ale na co innego (może na uczucia?). Stosuje się tu dwukrotnie sylogizm camestres.

We fr. 145. znajdujemy z kolei następną dystynkcję: dusza dzieli się na część poddającą się uczuciom i część rozumną (pierwsza z nich cierpi, a druga nigdy).

Natomiast we fr. 146. mamy dowód nieśmiertelności duszy. Dowód rozpoczyna się od przyjęcia aksjomatu, że jeżeli coś nie jest niszczone przez swoje zło przyrodzone (symphyton kakon, zło konnaturalne, właściwe), to jest niezniszczalne. W następnej kolejności wskazuje się cztery zła przyrodzone duszy, a mianowicie niesprawiedliwość, rozpustę, nierozwagę i nieuctwo (negacje czterech cnót kardynalnych: sprawiedliwości, umiarkowania, męstwa i roztropności). Pokazuje się, że żadne z nich nie niszczy duszy, w związku z tym dusza jest niezniszczalna. Jeżeli tak, to istnieje zawsze, jest więc nieśmiertelna, q.e.d.

Ostatni fragment z Rzeczypospolitej (147.) to krótki dowód tego, że sprawiedliwy dostaje od bogów to, co najlepsze (jest im bowiem miły).

8.23. Timajos

Timajos stanowi ewenement wśród dialogów Platona. Dialogu nie ma tu prawie w ogóle, prawie cały utwór zajmuje wykład Timajosa (prawie nie przerywany). Mimo tego znajdujemy tu sporo fragmentów logicznych, zwłaszcza w jego początkowej części.

W pierwszym fragmencie (148.) Timajos dowodzi, że świat ma swoją przyczynę (stwórcę). Czyni to w ośmiu krokach, posługując się głównie różnymi wersjami sylogizmu barbara.

We fragmencie drugim (149.) dowodzi, że świat został stworzony na podobieństwo wzoru idealnego, a we fragmencie 150., że na podobieństwo samego Stwórcy. Oprócz sylogizmów znajdujemy tu jedno użycie reguły odrywania.

We fr. 151., gdzie wykazuje się, dlaczego świat ma duszę, korzysta się z sylogizmu krzyżowego. Mamy tu bowiem przesłankę, że najlepszy czyni to, co najpiękniejsze. Ponieważ najpiękniejsze jest rozumne, a takie posiada duszę, zaś — z drugiej strony — Stwórca jest najlepszy, wiemy, że Stwórca czyni to, co posiada duszę.

Fr. 152. to krótki dowód tego, że świat nie mógł być stworzony na podobieństwo jakiejś rzeczy niedoskonałej (bo jest piękny, a podobizna niedoskonałego nie jest piękna).

Fragment 153. to trochę dłuższy dowód tego, dlaczego świat jest jeden. Jest tak, bo jeśli jego wzór był jeden, to i świat musiał być jeden (reg. odrywania). To, że wzór był jeden dowodzi się przez sylogizm barbara (bo wzór był wszechobejmujący, zaś wszechobejmujące jest jedno).

W następnym fragmencie (154.) jest jeden sylogizm czteroprzesłankowy, wykorzystujący koniunkcję nazwową. Wywodzi się tu, z czego składa się świat: otóż jest on z ognia i z ziemi, ponieważ jest widzialny i dotykalny, a co widzialne jest z ognia, a co dotykalne jest stałe, jest zatem z ziemi.

Ostatni fragment z Timajosa znaleziony został w innej części utworu, pod jego koniec. Timajos dowodzi tam, że świat mający duszę musi być symetryczny, a to dlatego, że jest dobry, a co dobre to piękne, piękne zaś symetryczne.

8.24. Minos

Dialog ów jest zwykle traktowany jako nieautentyczny. Ponieważ jednak jeszcze za czasów Trazyllosa uchodził za dialog Platona, poddany został analizie, podobnie jak wszystkie inne z jego dziewięciu tetralogii.

Sokrates i jego przyjaciel poszukują definicji pojęcia „prawo”. Hipoteza przyjaciela, że prawo to ustawa państwowa (prawo stanowione) upada, na jej miejsce wykazuje się, ze prawo do dobra opinia (chresté doxa). Stąd dowodzi się, że prawo, to (przynajmniej w stanie idealnym) poszukiwanie bytu. Dowód przebiega w 14 krokach. Najpierw wykazuje się, że ustawa (dogma) nie może być definicją prawa, ponieważ ustawa bywa niegodziwa, a prawo nigdy. Na to miejsce przyjmuje się, że prawo to postanowienie (doxa), ale tylko dobre, takie zaś jest poszukiwaniem bytu. W dowodzie tym stosuje się wyłącznie reguły nazwowe (sylogistyczne).

Drugi fragment z Minosa (157.) to tylko jedno przejście, konwersja zdania przeczącego („znawcy nie zmieniają zdania” na „zmieniający zdanie nie są znawcami”).

8.25. Prawa

W najdłuższym z utworów Platona znaleźliśmy tylko dwa krótkie fragmenty, zawierające użycia sylogizmu barbara.

8.26. Platońska metoda podziałów (diairesis)

Platońskie podziały (diairesis ) od samego początku były podejrzane o bycie źródłem sylogistyki. Z takim poglądem polemizuje już Arystoteles:

„Nietrudno dostrzec, że podział na rodzaje jest małą cząstką opisanej właśnie metody; jest bowiem podział jakby słabym sylogizmem; przyjmuje bowiem to, co należy udowodnić i osiąga zawsze jakiś bardzo ogólny wniosek. Przede wszystkim fakt ten uszedł uwagi tych, którzy się posługiwali metodą podziału i usiłowali wszystkich przekonać, że można podać dowód substancji i istoty” .

Przypomnijmy pokrótce, na czym polegała diairesis . Była ona metodą systematyki pojęć poprzez podział dychotomiczny pojęć coraz mniej ogólnych, np.: rzemieślnik (technikos) może być produkujący lub nabywający; nabywający przez wymianę lub siłą; ten ostatni to żołnierz lub myśliwy; myśliwy poluje na żywe stworzenia lub nieożywione; żywe stworzenia mogą być wodne lub lądowe; wodne to ryby lub ptaki; na ryby polować można dniem lub nocą; za dnia łowi się na haczyk lub na trójząb etc. Więc wędkarz to rzemieślnik nabywający siłą zwierzęta żywe, wodne, będące rybami, robiący to za dnia haczykiem .

Użyte przez Arystotelesa określenie „słaby sylogizm” jest mylące, jeżeli wyrwie się je z kontekstu. Po wyżej zacytowanej wypowiedzi następuje bowiem charakterystyka diairesis, a po niej podsumowanie:

„Okazuje się więc, że za pomocą tej metody ani nie można zbić twierdzenia przeciwnika, ani też wnioskować czy to o własnościach przypadkowych, czy o cechach właściwych danej rzeczy, ani o rodzaju, ani o przypadku, gdy nie wiadomo, czy jest tak, czy owak, np. czy przekątna kwadratu jest niewymierna. Bo jeżeli przyjmie, że każda długość jest bądź wymierna, bądź niewymierna, a przekątna jest długością, to udowodnił, że przekątna jest albo niewymierna, albo wymierna. A jeżeli przyjmie, że jest niewymierna, to przyjmuje to, co miał udowodnić. Lecz nie potrafi tego udowodnić; bo taka jest [jego] metoda, że dowód przy jej pomocy jest niemożliwy. […] Okazuje się przeto, że metoda ta nie nadaje się do każdego badania, i że jest bezużyteczna nawet w takich przypadkach, w których mogłaby się wydawać najbardziej odpowiednia” .

„Słaby sylogizm” jest więc takim sylogizmem, w którego wniosku jest podstawienie prawa wyłączonego środka; „słaby” oznacza więc „redundantny”.

Podziały nie są dowodami, a analizą pojęcia, poszukiwaniem jego definicji (wyłącznie w kontekście odkrycia: podziały w żaden sposób nie umożliwiają uzasadnienia trafności definicji uzyskanej tą metodą). Pozatem wszystkie podziały idą tym samym schematem, zupełnie inaczej niż sylogizmy (które mają wiele różnych trybów). Tak w Sofiście, jak i w Polityku Platona, nie możemy znaleźć żadnych innych dowodów.

Inaczej możemy zinterpretować podziały jako wykład. Jest to bowiem w istocie systematyka: przy takim podejściu nie zajmujemy się szukaniem definicji dla poszczególnych pojęć (lub bytów), ale mnogość tychże układamy w szufladki systemu. O istnieniu takich tablic systematycznych w Akademii Platońskiej pisze Arystoteles w traktacie O częściach zwierząt I, 2.

Jedyna możliwość powiązania podziałów z powstaniem sylogistyki jest więc taka, że Arystoteles stworzył sylogistykę widząc braki diairesis, która z kolei służyła mu za punkt odniesienia . Moc tego argumentu jest jednak podobna do stwierdzenia, że inspiracją do napisania jakiejś rozprawy naukowej jest taka czy inna encyklopedia lub leksykon: są one z pewnością niezbędne, porządkując i przekazując wiedzę, same jednak wiedzy nie tworzą. W swej pracy pokazuję, że Arystoteles miał wystarczające inne powody, by zająć się sylogistyką.

Należy tu wspomnieć jeszcze o teorii É. de Stryckera, jakoby Arystoteles zaczerpnął swoją sylogistykę z platońskiej teorii części i całości . Hipoteza ta jest niefalsyfikowalna, jest jednak tak słaba, że niczego nie wnosi: być może Arystoteles rozwijał Platońskie koncepcje uczestnictwa istot niższych w wyżej umieszczonych w hierarchii bytów, ale stąd do sylogistyki jest niezmiernie daleko.

9. Archytas z Tarentu (~425 – ~350)

Pitagorejczyk Archytas z Tarentu był przyjacielem Platona, którego poznał na Sycylii, a następnie uratował mu życie, wykradając go z więzienia Dionizosa w Syrakuzach, o czym sam Platon pisze w Liście VII. Żyli mniej więcej w tym samym czasie, być może Archytas był młodszy o jakieś pięć lat .

Archytas był ostatnim wielkim pitagorejczykiem helleńskim. Był politykiem, zajmował się mechaniką i harmoniką, problemem skończoności świata, a także teorią poznania. Arystoteles w Metafizyce Η 1043a przytacza dwa przykłady jego definicji: „cisza bezwietrzna” to „spokój w masie powietrza”, a „cisza morska” to „gładkość morza”. Z czterech fragmentów Archytasa żaden nie zawiera zastosowania logiki, dwa z nich (3. i 4.) muszą jednak zwrócić naszą uwagę:

Fr. 3. „[…] Odkrycia logistyki przerwały rozruchy i powiększyły zgodę; gdy ich bowiem dokonano, nie ma już miejsca na krzywdy i panuje równość; na ich to podstawie jednamy się z sobą przez zawieranie umów. Ich mocą biedni biorą od możnych, zaś bogaci dają potrzebującym, wierząc, że przez to zaistnieje równość. [Ustalenia logistyki] jako miara i przestroga dla nieuczciwych powstrzymały od nieuczciwego postępowania tych, którzy je rozumieją; przekonały ich bowiem, że nie zdołają się ukryć, jeśli popełnią nieuczciwość; tym zaś, którzy ich nie rozumieją, przeszkodziły w popełnianiu nieuczciwości, wykazawszy natomiast, że nieuczciwość popełniają” .

Fr. 4. „Wydaje mi się, że logistyka w porównaniu z innymi sztukami, góruje nad nimi mądrością, nawet nad geometrią; potrafi bowiem uzasadnić to, co chce, precyzyjniej niż geometria. [Tam bowiem, gdzie zawodzą inne sztuki, dostarcza dowodów geometria], gdzie zaś zawodzi geometria, dostarcza dowodów logistyka, ponieważ przedmiotem jej badań są postaci bytu i to, co z postaciami bytu jest związane”.

Czym jest owa zbawienna w skutkach „logistyka”? Plethon na podstawie tego zapewne fragmentu oskarżył Arystotelesa o plagiat (vide), nazywając dzieło Archytasa traktatem logicznym. J. Gajda interpretuje te fragmenty w świetle ostatniego zdania fr. 4.: „przedmiotem jej badań są postaci bytu (eidea) i to, co z postaciami bytu jest związane”. Wyprowadza stąd wniosek, że o ile arytmetyka jest dla pitagorejczyków nauką o liczbach konkretnych, a geometria o bytach dostępnych poznaniu zmysłowemu, to logistyka jest „matematyką czysto pojęciową”. Pisze dalej:

„Dowody arytmetyki i geometrii są zatem wystarczające w świecie przedmiotów zmysłowych, zawodzą jednak, jeśli za ich pomocą chciałoby się rozszyfrować tajemnice tej sfery wszechświata, którą Filolaos nazwał Olimpem — sfery, w której panuje doskonały ład, która nie podlega zmianie ani zagładzie, gdzie prapostaci bytu jawią się w swej czystej postaci”.

Wydaje się jednak, że taka interpretacja Archytasa jest skutkiem nieporozumienia, polegającego na skojarzeniu terminu „logistike techne (sztuka rachowania)” z dużo odeń młodszym „logike techne”, którego jednym z (wielu) znaczeń jest dzisiejsze „logika”. W.K.C. Guthrie przetłumaczył „logistykę” dosłownie, jako „liczenie” (calculation). A. Krokiewicz tłumaczy to wręcz jako „arytmetyka”. Przy tej interpretacji wypowiedzi te są po prostu pochwałą umiejętności liczenia, dzięki której ludzie mają obiektywny środek osiągnięcia zgody w transakcjach handlowych, bankowych etc. Zupełnie naturalne wydaje się teraz stwierdzenie Archytasa z fr. 4., że logistyka (=arytmetyka) jest nauką ogólniejszą od geometrii: wszak „liczba rządzi wszystkim”.

10. Elementy geometrii Euklidesa (IV/III w.)

Tak się złożyło, że najstarszym zachowanym traktatem matematycznym są Elementy Euklidesa: wchłonęły one wszystkie poprzednie dokonania matematyków greckich. Euklides był młodszy od Arystotelesa i znał jego nauki (najprawdopodobniej także logikę). Nie można więc na podstawie Elementów bezpośrednio badać wpływu matematyki na powstanie logiki.

Analiza treści Elementów nie wskazuje na szczególne wykorzystanie w nich logiki; reguły logiczne nie są w nich eksplikowane, a założeń — wypisanych na początku w formie aksjomatów i postulatów — nie powtarza się, co sugeruje, że nie ich forma jest ważna w dowodzie, ale treść: dowody matematyczne nie są tu sformalizowane (nie są dowodami logicznymi). Od tej ogólnej zasady można znaleźć wiele wyjątków — Euklides nie unika logiki; nie jest mu ona jednak niezbędna.

Ian Mueller w artykule Greek Mathematics and Greek Logic zerpującego porównania greckich dowodów matematycznych z grecką logiką. Analiza ta ma trzy aspekty: czy wnioskowania Euklidesa (tj. najstarsze zachowane dowody matematyczne) są zależne od sylogistyki Arystotelesa (czy można stwierdzić, że Euklides się nią posługiwał); co Arystoteles pisze w Analitykach Pierwszych o matematyce (czy są ślady, że badał dowody matematyczne, tak jak robili to twórcy logiki współczesnej); wreszcie (co stoi poza przedmiotem niniejszych rozważań) jak (czy) matematyka wpłynęła na logikę stoików i starożytnych komentatorów.

Jak Mueller pokazuje, Elementy Euklidesa są w zupełności niezależne od sylogistyki Arystotelesa. Dowody w nich zawarte nie są zupełnie dowodami sylogistycznymi (potrzeba do nich co najmniej logiki elementarnej, wiele cech wskazuje, że były przeprowadzane intuicyjnie, nie formalnie). Z drugiej nic nie wskazuje, by Arystoteles lub jego perypatetyccy następcy badali w jakiś dokładniejszy sposób dowody matematyczne.

Jedna rzecz tylko budzi w wywodach Muellera moje wątpliwości. Jest nią związek między Arystotelesową procedurą dowodzenia przez ektezę a rolą ektezy u Euklidesa; zajmę się tym tutaj.

Podsumujmy: czy dowody matematyków przedarystotelesowych zawierały logikę — nie wiadomo. Wiadomo jednak, że:

1. Euklides używa reguł logicznych sporadycznie i przypadkowo.
2. Dowody Euklidesa można wprawdzie przekształcić na dowody logiczne, ale nie będzie to sylogistyka, a jakiś system znacznie szerszy.
3. Dowody Euklidesa byłyby dowodami logicznymi, gdyby uznać jego aksjomaty, definicje i postulaty za część użycia reguł logicznych (ich przesłanki), a nie za wysłowienie aksjomatów etc. Tymczasem wydaje się, że owe aksjomaty są właśnie aksjomatami, a nie czymś innym.

11. Pseudo-Platon

Spośród pism przypisywanych Platonowi już w starożytności wiele uchodziło za nieautentyczne. Przy pracy nad niniejszą rozprawą kilka z nich zostało również poddanych analizie, której rezultatem było siedem znalezionych fragmentów: jeden z dialogu O sprawiedliwym, dwa z Syzyfa i cztery z Eryksjasza.

W dialogu O sprawiedliwym (fr. 301.) Sokrates rozmawia z kimś bezimiennym o tym, czy można być niesprawiedliwym dobrowolnie. W piętnastu krokach dochodzą do wniosku, że nie można. Wykorzystuje się tu wyłącznie rachunek nazw (sylogistykę).

W dialogu Syzyf Sokrates definiuje przy pomocy Syzyfa pojęcie obradowania. Syzyf stawia hipotezę, że jest to pewne badanie. Sokrates pokazuje (fr. 302.), że hipoteza jest błędna, bowiem obradować nie można nie wiedząc, zaś badać można. W drugim fragmencie (303.) Sokrates pokazuje sofistycznie niemożliwość obradowania, skoro obraduje się nad czymś, co dopiero ma zaistnieć, a zatem nie istnieje, nie ma więc natury. Nie można zaś obradować nad czymś, co nie ma natury, a zatem samo pojęcie obradowania jest sprzeczne.

W pierwszym fragmencie z dialogu Eryksjasz Sokrates referuje, jak to przekonywał Eryksjasza i Erasistratosa, że mądrość jest największym bogactwem. Dowód składa się z pięciu przesłanek i wniosku, wykorzystuje wyłącznie rachunek nazw (funktorami są identyczność i inkluzja; w sposób nieistotny pojawia się też koniunkcja nazwowa).

Drugi fragment z Eryksjasza (305.) pochodzi z części dialogu, w której Sokrates opowiada, jak to relacjonował Eryksjaszowi, Kritiaszowi i Erasistratosowi rozmowę między sofistą Prodikosem z Keos a pewnym chłopcem, który zapytał Prodikosa, w jakim znaczeniu uważa bogactwo za coś złego, a w jakim za coś dobrego. Uzyskawszy odpowiedź, chłopiec sprowadza ją do absurdu, dowodzi bowiem, że skoro dobre prosperowanie (eu prattein) to bycie szlachetnym (kalos kagathos), czyli cnota (arete), której można się nauczyć, to ponieważ modlitwa o coś, czego się trzeba nauczyć jest głupotą, więc modlitwa o dobre prosperowanie również jest głupotą.

Trzeci fragment z Eryksjasza (306.) jest jednym z dwóch znalezionych użyć sylogizmu felapton figury III. Sokrates relacjonuje tu, jak to definiował z Eryksjaszem, Kritiaszem i Erasistratosem pojęcie mienia. Eryksjasz pokazuje, że podana przez Sokratesa etymologiczna definicja: mienie (chrema) — używać (chresthai) jest zbyt szeroka, bowiem np. mowa nie jest mieniem, a jest użyteczna (chresimon), a więc użyteczne czasem nie jest mieniem. Prowadzi to do zawężenia definicji.

W ostatnim fragmencie (307.) Sokrates przekonuje Kritiasza, że pieniądze nie są człowiekowi potrzebne, bo założenie, że cel uświęca środki (tzn. przechodniość funktora „jest użyteczne dla”) prowadzi do sprzeczności. Dowód jest złożony i prowadzi się go w czternastu krokach.

12. Spis znalezionych fragmentów logicznych w pismach prearystotelików

L.p.	Fragment	ilość reguł	ilość kroków	ilość znaków
1.	Antyfon, Tetralogia pierwsza I, 4–5	5	12	465
2.	Antyfon, Tetralogia pierwsza II, 4–6	2	4	919
3.	Antyfon, Tetralogia trzecia III, 2	2	6	434
4.	Arystofanes, Chmury 1055–1057	1	3	137
5.	Arystofanes, Chmury 1399–1419	1	5	944
6.	Arystofanes, Plutos 581–586	1	3	306
7.	Eurypides, Cyklop 669–675	0	0	306
8.	Eurypides, Alkestis 518–529	1	4	465
9.	Herodot, Dzieje III,37,1–38,2	2	4	661
10.	Herodot, Dzieje V,53,1–54,2	2	10	791
11.	Herodot, Dzieje VII, 8γ1–3	1	5	457
12.	Herodot, Dzieje VII, 11,1–2	1	3	104
13.	Herodot, Dzieje VIII, 61,1–2	0	0	465
14.	Hipokrates, Sztuka II	4	10	642
15.	Hipokrates, Sztuka V	1	4	357
16.	Hipokrates, O naturze ludzkiej II	3	7	308
17.	Izokrates, Przeciw Euthynusowi 5	1	3	237
18.	Ksenofont, Wspomnienia o Sokratesie IV, 4,19–24	7	16	2134
19.	Ksenofont, Wspomnienia o Sokratesie IV, 5,4–5	1	4	406
20.	Ksenofont, Wspomnienia o Sokratesie IV, 5,7–8	1	3	415
21.	Ksenofont, Wspomnienia o Sokratesie IV, 6,1–4	1	4	670
22.	Ksenofont, Wspomnienia o Sokratesie IV, 6,5–6	3	9	981
23.	Ksenofont, Wspomnienia o Sokratesie IV, 6,8	1	3	272
24.	Ksenofont, Wspomnienia o Sokratesie IV, 6,10	1	4	221
25.	Ksenofont, Wspomnienia o Sokratesie IV, 6,10–11	4	10	670
26.	Ksenofont, Wspomnienia o Sokratesie IV, 7,6–7	5	15	604
27.	Ksenofont, Uczta 5,4–7	6	17	1061
28.	Ksenofont, Cyropedia III, 1, 10–11 & 13–15 & 38	1	5	1919
29.	Ksenofont, Cyropedia IV, 5, 27–28	1	3	339
30.	Ksenofont, Cyropedia VI, 1,41	0	0	383
31.	Ksenofont, Cyropedia VIII, 4,19–21	4	12	551
32.	(Pseudo-)Ksenofont, Rzeczpospolita Ateńska I, 10–11	3	7	604
33.	Platon, Eutyfron 10d12–e8	2	4	356
34.	Platon, Fedon 75b4–c6	1	3	465
35.	Platon, Fedon 76a1–8 & b4–c5	2	5	778
36.	Platon, Fedon 78c1–9 & 79a6–b15 & 80b8–c1	1	5	1017
37.	Platon, Fedon 93b8–c10 & 94a1–b3	3	7	993
38.	Platon, Fedon 92e4–93a10 & 94c3–d6 & 94e7–95a3	6	10	1181
39.	Platon, Fedon 104d4–e3	1	3	366
40.	Platon, Fedon 105a1–5 & c9–e9	2	6	876
41.	Platon, Fedon 106b2–3 & c9–d2 & e1–4	1	3	375
42.	Platon, Teajtet 151e8–152a9	2	5	397
43.	Platon, Teajtet 163a7–11 & 163d1–164b12	4	9	1576
44.	Platon, Teajtet 181d8–e8	2	4	377
45.	Platon, Teajtet 182d8–183a1 & 183b7–c4	3	8	655
46.	Platon, Teajtet 186b11–e12	6	14	1074
47.	Platon, Teajtet 187a9–b7	1	3	343
48.	Platon, Teajtet 187b4–6 & 189a6–b9	4	7	509
49.	Platon, Teajtet 201b7–c7	1	3	352
50.	Platon, Teajtet 201d8–202c5	3	7	1181
51.	Platon, Teajtet 203c1–e1 & 204d1–205e8	10	23	3206
52.	Platon, Parmenides 127d6–128a3	1	3	726
53.	Platon, Parmenides 137c4–142a6	47	102	8210
54.	Platon, Parmenides 144e8–145a4	1	4	238
55.	Platon, Parmenides 145c7–d4	1	3	241
56.	Platon, Parmenides 145e1–6	1	2	217
57.	Platon, Parmenides 145e7–146a3	1	3	218
58.	Platon, Parmenides 148e4–10	1	2	275
59.	Platon, Parmenides 150c6–e5	1	6	655
60.	Platon, Parmenides 151e3–152a3	1	3	409
61.	Platon, Parmenides 153b1–7	1	4	282
62.	Platon, Parmenides 161a6–b4	1	5	294
63.	Platon, Parmenides 161c3–6	1	3	146
64.	Platon, Fileb 54c1–d3	2	5	567
65.	Platon, Uczta 187b2–6	1	4	175
66.	Platon, Uczta 199e6–200a4 & 200e2–201c9	3	7	1533
67.	Platon, Uczta 202c6–d7	2	5	421
68.	Platon, Uczta 204a8–b5	2	5	289
69.	Platon, Faidros 245c5–246a2	2	9	987
70.	Platon, Alkibiades I 111b3–8 & 111e11–112a5 & 112c8–d3	1	3	468
71.	Platon, Alkibiades I 113a7–b7	1	3	312
72.	Platon, Alkibiades I 116b2–10	1	4	218
73.	Platon, Alkibiades I 116c9–d4	1	4	244
74.	Platon, Alkibiades I 125a1–b8	3	9	499
75.	Platon, Alkibiades I 129e3–8	1	3	160
76.	Platon, Alkibiades I 130a7–c7	3	7	734
77.	Platon, Alkibiades I 133c18–24 & 133e4–134b3	1	10	783
78.	Platon, Alkibiades II 139a13–c2	1	3	485
79.	Platon, Hipparch 226e10–227d1	3	7	999
80.	Platon, Hipparch 231e2–232a5	1	5	374
81.	Platon, Rywale 136e8–b6	1	4	737
82.	Platon, Charmides 159d4–12	1	3	237
83.	Platon, Charmides 160b3–9	1	3	271
84.	Platon, Charmides 160b9–d4	1	3	519
85.	Platon, Charmides 161a2–b4	1	3	420
86.	Platon, Charmides 161d6–e5 & 162a7–9	2	5	420
87.	Platon, Charmides 162e7–163a5	1	3	213
88.	Platon, Charmides 163b1–c8	3	7	739
89.	Platon, Charmides 164a9–d3	1	6	856
90.	Platon, Charmides 168b5–d3 & e3–8	1	4	888
91.	Platon, Laches 192b5–d12	2	5	899
92.	Platon, Laches 193d1–10	1	3	302
93.	Platon, Lyzis 214e2–215c2	3	14	1005
94.	Platon, Eutydem 276a3–b5	1	4	497
95.	Platon, Eutydem 276e8–277b2	2	5	560
96.	Platon, Eutydem 277b6–c7	2	5	479
97.	Platon, Eutydem 281b4–c4 & d2–e2	1	5	745
98.	Platon, Eutydem 283c5–d8	2	5	525
99.	Platon, Eutydem 283e1–284c6	5	15	1326
100.	Platon, Eutydem 286d4–10	1	3	190
101.	Platon, Eutydem 293b7–e1	3	8	901
102.	Platon, Eutydem 295b2–296d4	2	8	2549
103.	Platon, Eutydem 297e5–298a2 & 298c8–3	2	6	484
104.	Platon, Eutydem 299d1–e3	1	3	387
105.	Platon, Eutydem 300a1–5	1	3	219
106.	Platon, Eutydem 301b5–c5	0	0	403
107.	Platon, Eutydem 301e10–302a5 & 302d4–5 & 302d8–303a5	3	7	1160
108.	Platon, Protagoras 332a4–333b4	5	13	2171
109.	Platon, Protagoras 333d4–6	0	3	136
110.	Platon, Protagoras 358d5–359a1	1	3	493
111.	Platon, Protagoras 359e1–4	1	3	146
112.	Platon, Protagoras 359e4–360a5	2	6	433
113.	Platon, Protagoras 360a8–b4	1	4	161
114.	Platon, Protagoras 360c1–d8	2	6	659
115.	Platon, Gorgiasz 454c7–e2	1	3	444
116.	Platon, Gorgiasz 460a5–c6	2	5	749
117.	Platon, Gorgiasz 474c4–d2	1	3	337
118.	Platon, Gorgiasz 475a1–e6	3	8	1557
119.	Platon, Gorgiasz 475e7–477a4	5	14	1884
120.	Platon, Gorgiasz 477a5–e6	6	15	1494
121.	Platon, Gorgiasz 506c5–507d6	6	23	2198
122.	Platon, Gorgiasz 521b4–c2	1	4	283
123.	Platon, Menon 87b2–e4 & 88c1–89a5	3	9	2285
124.	Platon, Menon 89d1–e7 & 96b6–d1	3	7	1070
125.	Platon, Menon 96e7–97c5 & 98b7–99b10	6	14	3044
126.	Platon, Hippiasz większy 283e9–285b4	4	13	2379
127.	Platon, Hippiasz większy 295e5–10	2	5	256
128.	Platon, Hippiasz większy 296b1–d5	2	5	837
129.	Platon, Hippiasz większy 296d6–297d9	7	17	2011
130.	Platon, Hippiasz większy 301b2–c3 & 301e9–302b3	5	11	993
131.	Platon, Hippiasz większy 303e8–304a3	3	7	390
132.	Platon, Hippiasz mniejszy 365d6–366a8	1	6	915
133.	Platon, Hippiasz mniejszy 366d3–6 & 367a8–d9 & 368d7–369c2	6	15	2206
134.	Platon, Hippiasz mniejszy 375d8–376b6	3	11	1130
135.	Platon, Ijon 541a1–b5	1	3	521
136.	Platon, Ijon 542a2–b4	2	5	443
137.	Platon, Rzeczpospolita I 334b7–335e6	10	25	2981
138.	Platon, Rzeczpospolita I 350a6–c11	6	13	931
139.	Platon, Rzeczpospolita I 352a5–b4	1	3	379
140.	Platon, Rzeczpospolita I 353b2–354a11	7	18	1691
141.	Platon, Rzeczpospolita II 379b1–c8	5	13	666
142.	Platon, Rzeczpospolita IV 439a9–e1	1	3	1096
143.	Platon, Rzeczpospolita V 477e4–478a2	1	3	217
144.	Platon, Rzeczpospolita X 602d6–e3 & 602e8–603a9	2	5	545
145.	Platon, Rzeczpospolita X 604a10–b5	1	3	193
146.	Platon, Rzeczpospolita X 609a9–c1 & d4–11 & 610e10–611a3	3	8	890
147.	Platon, Rzeczpospolita X 612e2–613b3	1	3	671
148.	Platon, Timajos 27d5–28a6 & b2–c3	3	8	768
149.	Platon, Timajos 28a6–b2 & 28c3–29b1	2	5	742
150.	Platon, Timajos 29d7–e3	1	3	191
151.	Platon, Timajos 29a2–6 & 30a6–b6	1	5	540
152.	Platon, Timajos 29a2–6 & 30c2–5	1	3	390
153.	Platon, Timajos 31a2–b3	2	5	482
154.	Platon, Timajos 31b4–8	1	5	208
155.	Platon, Timajos 87c4–6	1	4	89
156.	Platon, Minos 314d8–315a3	5	14	594
157.	Platon, Minos 317b2–7	1	2	269
158.	Platon, Prawa II 654a9–b8	1	3	239
159.	Platon, Prawa IX 860d5–9	1	3	223
Średnio:		2,5	6,8868	761,1
Wszystko:		397	1095	121015

Presokratycy (za Dielsem)

L.p.	Fragment	ilość reguł	ilość kroków	ilość znaków
201.	Zenon, Fr. 1	1	2	210
202.	Zenon, Fr. 2	1	3	362
203.	Zenon, Fr. 3	1	4	316
204.	Melissos, Fr. 1	1	4	117
205.	Melissos, Fr. 2	1	3	297
206.	Melissos, Fr. 6	1	2	90
207.	Melissos, Fr. 7	7	17	1322
208.	Hippon, Fr. 1	1	3	226
209.	Filolaos, Fr. 2	1	4	385
210.	Anaksagoras, Fr. 12	1	5	499
211.	Diogenes z Apollonii, Fr. 2	1	3	505
212.	Gorgiasz, Pochwała Heleny 6–8 & 15 & 19–20	1	6	1984
213.	Gorgiasz, Obrona Palamedesa 6–12	8	37	2441
214.	Gorgiasz, Obrona Palamedesa 22 & 24	3	13	937
215.	Gorgiasz, Obrona Palamedesa 25	3	9	480
216.	Gorgiasz, Obrona Palamedesa 26	4	8	322
217.	Mowy podwójne, 1, 11–15	5	11	945
218.	Mowy podwójne, 2, 22–25	3	6	478
219.	Mowy podwójne, 3, 13–14	3	5	440
220.	Mowy podwójne, 4, 6	4	5	348
Średnio:		2,55	7,5	635,2
Wszystko:		51	150	12704

Pseudo-Platon (poza tetralogiami Trazyllosa)

L.p.	Fragment	ilość reguł	ilość kroków	ilość znaków
301.	O sprawiedliwym 374e8–375d4	7	15	1302
302.	Syzyf 389d5–e2	1	3	253
303.	Syzyf 390d6–e8	2	6	517
304.	Eryksjasz 393c2–4 & 393e5–394a5	1	6	695
305.	Eryksjasz 398c5–d8	2	6	499
306.	Eryksjasz 400e10–401a7	1	3	442
307.	Eryksjasz 404c2–405a1	6	14	1228
Średnio:		2,86	7,5714	705,14
Wszystko:		20	53	4936