Summary: The Pre-Aristotelian Formal Logic

Część I - Logika formalna przed Arystotelesem

  1. Wstęp
  2. Objaśnienia ważniejszych pojęć
  3. Wybrane dotychczasowe ujęcia przedarystotelesowej logiki formalnej
  4. Plan badań i metodologia
  5. Opis zgromadzonego materiału źródłowego
  6. Fragmenta praearistotelicorum — przykłady
  7. Analiza wyników
  8. Rozstrzygnięcia
  9. Bibliografia

Część II - Katalog przedarystotelesowych fragmentów logicznych

I. Fragmenta prearistotelicorum

  1. Układ pozycji katalogowej
  2. System przyjęty w formalizacji
  3. Reguły logiczne znalezione u prearystotelików
  4. Kanon pism prearystotelików
  5. Spis znalezionych fragmentów logicznych w pismach prearystotelików
  6. Katalog fragmentów logicznych znalezionych w pismach prearystotelików
  7. Dodatek 1.: fragmenty logiczne we fragmentach presokratyków
  8. Dodatek 2.: fragmenty logiczne w pismach pseudoplatońskich

II. Zależności statystyczne

Marek Jerzy. Minakowski, Prehistoria logiki formalnej

VI. Analiza wyników

1. Nasycenie tekstu logiką

Tabela 1. przedstawia różne parametry określające stopień nasycenia różnych utworów logiką. Są to: ilość znalezionych fragmentów logicznych (B), ilość zastosowanych reguł (C), ilość kroków dowodowych (D) oraz suma długości fragmentów logicznych (E). Wszystkie te wielkości są odniesione do całkowitej długości tekstu (A), wyznaczonej na podstawie Thesaurus Linguae Graece.

Spuścizny Ksenofonta i Platona zostały przedstawione w rozbiciu na poszczególne utwory, dzieła pozostałych autorów zostały potraktowane razem. Na końcu tabeli znajduje się podsumowanie dla różnych rodzajów literackich; z wyjątkiem Ksenofonta każdy autor zalicza się do jednego rodzaju literackiego (pisma Ksenofonta są częściowo w filozofii, częściowo w historii). Podział na rodzaje literackie jest częściowo umowny, jako że te pisma Hipokratesa (O sztuce i O naturze ludzkiej), w których zachowały się dowody logiczne, mają charakter typowo filozoficzny (z kręgu Gorgiasza). Podobnie mowy Antyfonta zawierające dowody logiczne (Tetralogie) nie były przeznaczone do wygłoszenia, stanowiły teoretyczny przykład, jak należy mowy pisać (być może sam Antyfon nie zdawał sobie sprawy z ich sztuczności).

Tabela 1. Nasycenie tekstu logiką

L.p.Tytułdługość tekstu

A

ilość fragm.

B

ilość reguł

C

ilość kroków

D

długość fragmentów

E

E/A

×10.000

F

B/A

×3000.000

G

C/A

×2000.000

H

D/A

×1000.000

I

I.Ajschylos374 81400000000
II.Andokides141 81600000000
III.Antyfon144 25939221 81812662125153
IV.Arystofanes925 38633111 3871510612
V.Demostenes837 23300000000
VI.Eurypides1 321 9122147716523
VII.Herodot1 491 37556222 4781710815
VIII.Hezjod129 26000000000
IX.Hipokrates871 64738211 30715101824
X.Homer1 714 46900000000
XI.Izajos182 26600000000
XII.Izokrates746 3091132373434
XIII.Ksenofont2 478 638153911211 23045183145
192.Historia grecka539 18900000000
193.Wspomnienia o Sokratesie278 969924686 37322897172244
194.Ekonomik137 05900000000
195.Uczta72 48716171 06114641166235
196.Obrona Sokratesa15 74900000000
197.Anabaza454 08200000000
198.Cyropedia612 40246203 19252202033
199.Hieron46 53900000000
200.Agesilaos59 14600000000
201.Rzeczpospolita Lacedemońska39 48700000000
202.O dochodach30 35600000000
203.Dowódca kawalerii45 32400000000
204.O jeździectwie52 88300000000
205.O łowiectwie70 29800000000
206.Rzeczpospolita Ateńska24 668137604245122243284
XIV.Lizjasz421 29300000000
XV.Platon4 419 430127330899101 78423086149203
241.Eutyfron40 45112435688749999
242.Obrona Sokratesa67 31700000000
243.Kriton32 42800000000
244.Fedon168 611817426 051359142202249
245.Kratylos145 97600000000
246.Teajtet182 4871036839 670530164395455
247.Sofista135 06300000000
248.Polityk143 82000000000
249.Parmenides114 526125814011 911104031410131222
250.Fileb145 51212556739212734
251.Uczta132 98948212 41818290120158
252.Fajdros131 16112898775233061
253.Alkibiades I86 463812433 418395278278497
254.Alkibiades II34 100113485142885988
255.Hipparch18 76124121 373732320426640
256.Rywale18 905114737390159106212
257.Teages27 75700000000
258.Charmides62 761912374 563727430382590
259.Laches60 2552381 201199100100133
260.Lyzis52 80613141 00519057114265
261.Eutydem97 24114267710 4251072432535792
262.Protagoras136 642712384 199307154176278
263.Gorgiasz210 628825758 946425114237356
264.Menon79 367312306 399806113302378
265.Hippiasz większy66 199623586 8661037272695876
266.Hippiasz mniejszy34 071310324 2511248264587939
267.Ijon30 891238964312194194259
268.Meneksenos38 57300000000
269.Klejtofon12 14000000000
270.Rzeczpospolita I75 983424595 979787158632776
271.Rzeczpospolita II–IX533 27137191 97937172636
272.Rzeczpospolita X69 54247192 299331173201273
273.Timajos181 749812383 410188132132209
274.Krytiasz38 19700000000
275.Minos23 3042616863370257515687
276.Prawa810 2412264626757
277.Epinomis47 89300000000
278.Listy131 34900000000
XVI.Sofokles518 08600000000
XVII.Tukidydes1 214 35200000000
Epika1 843 72900000000
Tragedia2 214 8122147713312
Komedia925 38633111 3871510612
Retoryka2 473 176410252 05585810
Medycyna871 64738211 30715101824
Historia3 698 99856222 4787436
Filozofia5 904 7971423691011113 01419172125171
Wszystko17 932 5451593971094121 01267274461

Te dane wskazują na ogromną dysproporcję pomiędzy częstością używania logiki przez filozofów (zwłaszcza w utworach sokratycznych Platona i Ksenofonta) i innych pisarzy. Przyjmijmy dla uproszczenia, że na jednej stronie mieści się 2000 znaków (bez spacji), wtedy jedno zastosowanie reguły logicznej zdarza się raz na 8 stron w literaturze filozoficznej, zaś raz na 215 w pozostałych tekstach (wszystkie zachowane teksty prearystotelików w tym corpus to 8699 stron). A więc można powiedzieć, że filozofowie używali logiki 27 razy częściej niż wszyscy inni! Po odjęciu Praw i Rzeczypospolitej II–X Platona oraz Cyropedii Ksenofonta uzyskamy jeszcze więcej: w tekstach filozoficznych jedno użycie reguły logicznej przypada na 5,7 strony — w tych utworach razem wziętych jedna reguła przypada na 46 stron. Gdyby z kolei z tekstów pozafilozoficznych odjąć krótkie utwory teoretyczne przypisywane Hipokratesowi (O sztuce i O naturze ludzkiej) oraz „mowy” szkolne Antyfonta (Tetralogie), to okazuje się, że w tekstach pozafilozoficznych jedno użycie reguły logicznej przypada na 542 strony!

Dla historii i tragedii (a zatem dla tekstów pozafilozoficznych w ogóle) wielkości odwołujące się do liczby fragmentów logicznych i ich długości (kolumny B, E, F i G) są trochę zawyżone, jako że uwzględnione tam zostały fragmenty nie zawierające żadnej reguły logicznej.

2. Wzrost i upadek logiki Platona

Dane z tabeli 1. zostały wykorzystane do zbadania jak zmieniała się w czasie częstość używania logiki w przypadku Platona. Wykorzystałem w tym celu wyniki G.R. Ledgera, który dokonał najpełniejszej analizy stylometrycznej utworów Platona.

Spośród utworów należących do tetralogii Trazyllosa Ledger nie uwzględnia tylko Alkibiadesa II, choć uznaje go za raczej autentyczny; dołączam go tu zaraz po Alkibiadesie I: nawet jeżeli ów krótki utwór jest nieautentyczny, to naśladuje on Alkibiadesa I, można więc umieścić je razem. Wszystkie listy umieszczam tam, gdzie Ledger umieścił najdłuższy z nich, VII.

Kolejno powstałe utwory Platona zostały podzielone przeze mnie na grupy, po około 0,5 mln znaków. Grupy zawierające Rzeczpospolitą i Prawa mają po około 1 mln znaków, ale za to na wykresie są powtórzone. W ten sposób wykres jest w miarę adekwatnym przedstawieniem zmian, jakie zachodziły w użyciu logiki przez Platona.

W wyniku komputerowej analizy stylu Platona Ledger uzyskał wynik, zgodnie z którym Rzeczpospolita winna być przed Parmenidesem i Teajtetem; w imię zgodności z powszechną opinią umieścił ją jednak później. Rozwiązuję to w ten sposób, że I księgę Rzeczypospolitej włączam do wcześniejszej grupy (z Parmenidesem), a resztę do późniejszej (z Teajtetem).

Kolejność powstawania utworów Platona według Ledgera (podział na grupy pochodzi ode mnie, przedziały czasowe są wyłącznie orientacyjne, stypulowane na podstawie wyników Ledgera):

1.

Lysis, Eutyfron, (Minos), Hippiasz Mniejszy, Ijon, Hippiasz Większy, Alkibiades I, Alkibiades II, Teages, Kriton (399–390)

2.

Gorgiasz, Meneksenos, Menon, Charmides, Obrona Sokratesa (390–385)

3.

Fedon, Laches, (Hipparch), (Rywale), Protagoras, Eutydem (385–380)

4.

Uczta, Kratylos, Rzeczpospolita I, Parmenides (380–370)

5.

Teajtet, Rzeczpospolita II–X, Fajdros (370–360)

6.

Fileb, Klejtofon, Listy, Sofista, Polityk (355–352)

7.

Prawa, Epinomis, Timajos, Krytiasz (351–347)

Analizy Ledgera wykazały, że być może trzy dialogi Platona nie są autentyczne, ich język odstaje bowiem dość wyraźnie od języka pozostałych utworów; są to Minos, Hipparch i Rywale. Nie wynika stąd, że na pewno są one fałszerstwami; nie biorę ich tu jednak pod uwagę, aby nie wchodzić w niepotrzebne spory.

Osobno podaję wartości dla grupy 4 z wyłączeniem fr. 53 (Parmenides 137c4–142a6) jako grupy 4a. Fragment 53. (8102 znaki) sam zawiera 47 reguł w 102 krokach. Został dokładniej omówiony w Dodatku 3.

Tabela 2. Częstość użycia logiki w kolejnych okresach życia Platona wg Ledgera

Okresdługość

tekstu

A

ilość

fragmentów

B

ilość

reguł

C

ilość

kroków

D

długość

fragmentów

E

E/A

×10.000

F

B/A

×3000.000

G

C/A

×2000.000

H

D/A

×1000.000

I

Całość 4 358 45512231986798 80622784146199
1.405 161225416217 340428163267400
2.458 646204914219 908434131214310
3.462 749315816521 876473201251357
4.469 474208922020 308433128379469
4a461 264194211812 098262124182256
5.916 461185312914 93516359116141
6.567 88412556710579
7.1 078 0801014443 87236282641

Wykres 1. Względna długość fragmentów logicznych (F), względna ilość kroków dowodowych (I), reguł (H) i fragmentów logicznych (G) w kolejnych grupach utworów Platona (czas powstania wg Ledgera)

wykres

Wykres 2. Te same dane, tylko zamiast grupy 4. jest grupa 4a (tzn. nie jest uwzględniony na wykresie fragment 53.)

wykres

Z tych wykresów wynika kilka bardzo ważnych wniosków dla historii logiki. Pierwszym jest to, że maksymalne nasycenie logiką jego utworów ma miejsce w utworach najwcześniejszych: nie widać u Platona żadnego rozwoju. Wygląda na to, że wszystko, co Platon umiał w logice, umiał już na samym początku, zanim się zabrał do pisania. Nauczył się tego zatem od swojego mistrza. Mamy więc bardzo silną wskazówkę, że to Sokrates był autorem zastosowań logiki w filozofii, a Platon w miarę swego życia odchodził od niej.

Widać, poprzez porównanie obydwu wykresów, jak bardzo fragment 53. odstaje od reszty twórczości Platona tego okresu.

Zestawieniom tym można postawić kilka zarzutów. Po pierwsze: opierają się na czysto mechanicznym liczeniu różnych cech gramatycznych języka różnych utworów. Bardzo mało mamy informacji na temat dat powstania różnych utworów Platona; powyższe ustalenie kolejności ich powstania opiera się w całości na hipotezie Lutosławskiego, że język Platona zmieniał się z czasem we w miarę stałym tempie i w sposób jednokierunkowy. Możliwe jest, że takie mechaniczne ustalanie sekwencji utworów Platona jest niewłaściwe, a lepsze wyniki uzyskałoby się porównując treść tych utworów. Innym poważnym zarzutem jest, że w tym zestawieniu znajduje się kilka utworów, które są dość powszechnie uznawane za nieautentyczne, pochodzące od autora innego niż Platon.

Z pierwszym z tych zarzutów można polemizować, odwołując się do faktu, że właściwie wszystko, co wiemy o rozwoju Platona, wywodzi się z badań Lutosławskiego nad jego stylem. Dopiero on ustalił, że teoria idei była charakterystyczna dla średniego okresu życia Platona, a później została zarzucona na rzecz koncepcji pitagorejskich. Na zarzut drugi można odpowiedzieć w ten sposób, że bardzo nieliczne utwory znane pod imieniem Platona nie były nigdy przedmiotem ataku ze względu na ich sugerowaną nieautentyczność.

Mimo wszystko przedstawię tu także inny podział utworów Platona. Jest to tradycyjny, szkolny układ Izydory Dąmbskiej. Podzieliła ona utwory Platona na cztery okresy:

1.

Śladami Sokratesa: Eutyfron, Obrona Sokratesa, Kriton, Ion, Protagoras, Laches, Lizys, Charmides

2.

Walka z sofistyką i kształtowanie się własnych poglądów: Hippiasz Mniejszy, Hippiasz Większy, Gorgiasz, Menon, Eutydem, Kratylos, Meneksenos

3.

Pełnia rozkwitu: Uczta, Fajdros, Fedon, Rzeczpospolita, Teajtet

4.

U schyłku życia: Parmenides, Sofista, Polityk, Fileb, Timajos, Kritiasz, Listy, Prawa

Do grupy piątej zaliczyłem pozostałe utwory Platona, nieuwzględnione przez Dąmską (głównie ze względu na ich powątpiewalną autentyczność oraz nieistotność filozoficzną): Alkibiades I i II, Epinomis, Teages, Hipparch, Minos, Rywale, Klejtofon

Przy analizie wykresu należy zwrócić uwagę, że każda z czterech grup jest obszerniejsza od poprzedniej (czwarta jest trzykrotnie większa niż pierwsza). Dlatego grupa trzecia jest na wykresie przedstawiona podwójnie, a czwarta potrójnie.

Grupa 4a oznacza, podobnie jak poprzednio, grupę 4. bez fr. 53 (całość = 1+2+3+4+5).

Tabela 3. Częstość użycia logiki w kolejnych okresach życia Platona (periodyzacja wg Dąmbskiej)

L.p.Tytułdługość tekstu

A

ilość fragm.

B

ilość reguł

C

ilość kroków

D

długość fragmentów

E

E/A

×10.000

F

B/A

×3000.000

G

C/A

×2000.000

H

D/A

×1000.000

I

Całość4 419 430127329900101 78423086149204
1.Śladami Sokratesa483 551223510912 288254136145225
2.Walka z sofistyką i kształtowanie się własnych poglądów672 055349627236 887549152286405
3.Pełnia rozkwitu1 294 0443410125229 38322779156195
4.U schyłku życia1 700 457237318916 350964186111
4a— bez fr. 53.1 692 2472226878 14048393151
5.Inne269 3231424786 876255156178290

Wykres 3. Względna długość fragmentów logicznych (F), względna ilość kroków dowodowych (I), reguł (H) i fragmentów logicznych (G) w kolejnych grupach utworów Platona (czas powstania wg Dąmbskiej)

wykres

Wykres 4. Te same dane, co poprzednio, tylko zamiast grupy 4. jest grupa 4a (tzn. nie jest uwzględniony na wykresie fragment 53.)

wykres

Jak widać, główną różnicą jest tu znaczna przewaga grupy drugiej nad pozostałymi; jednak wnioski ogólne będą tu takie same: w wieku dojrzałym Platon zaprzestał używania reguł logicznych w swoich utworach.

3. Układ terminów w regułach

Następne tabele dotyczą różnych klasyfikacji reguł użytych w zgromadzonych przeze mnie fragmentach. Pierwsza z nich przeprowadzona jest według układu zmiennych.

Zmienne mogą być dwojakiego rodzaju: zdaniowe lub nazwowe. Reguły zawierające wyłącznie zmienne zdaniowe lub oba rodzaje zmiennych są zakwalifikowane do dwóch osobnych grup. Reguły operujące wyłącznie zmiennymi nazwowymi (zwanymi tradycyjnie terminami) zostały podzielone wedle wzajmenego ich układu, zwanego tradycyjnie figurą sylogistyczną.

Pamiętać należy, że w tekście tak samo wygląda podstawienie zmiennej zdaniowej, jak i zdania ze zmiennymi nazwowymi; to czy zdanie „Sokrates jest człowiekiem” jest potraktowane jako podstawienie zmiennej zdaniowej α, czy podstawienie S/Sokrates i P/człowiek w formule „S jest P” za zmienne nazwowe S i P, zależy wyłącznie od funkcji spełnianej przez to zdanie w dowodzie.

Oznaczenie figury sylogistycznej („_” zastępuje wszystkie funktory zdaniotwórcze od dwóch argumentów nazwowych)

  1. konsekwencja i konwersja
    consconv
    rownanierownanie
  2. klasyczne figury sylogistyczne:
    IIIIIIIV
    rownanierownanierownanierownanie
  3. figury z przestawionymi przesłankami:
    ImIImIIImIVm
    rownanierownanierownanierownanie
  4. sylogizmy skondycjonalizowane (sylogizmy o wniosku warunkowym) figury Xc powstają z sylogizmów figury X poprzez usunięcie ostatniej przesłanki i zastąpienie konkluzji implikacją, której poprzednikiem jest owa usunięta przesłanka, a następnikiem wniosek konkluzji sylogizmu fig. X. Na przykład z figury IIm otrzymujemy figurę IImc:

    rownanie;

  5. łańcuszniki: sylogizmy o więcej niż dwóch przesłankach, oznaczane „sorx”, gdzie x jest liczbą przesłanek;
  6. funktora nazwotwórczego od jednego argumentu nazwowego „¬” nie bierze się pod uwagę (figura jest oznaczana tak, jakby go nie było)
  7. inne funktory nazwotwórcze od jednego argumentu nazwowego są również ignorowane, ale takie reguły są oznaczane „X obl”, gdzie X jest oznaczeniem figury, do której należałaby dana reguła, gdyby ich nie było. Oznaczenie „obl.” pochodzi od tradycyjnego określenia takich reguł jako „sylogizmy o terminie w przypadku zależnym” (łac. casus obliquus), co jest błędnie tłumaczone na „sylogizmy ukośne”.

Osobno są potraktowane reguły zawierające funtory nazwotwórcze od dwóch argumentów nazwowych (∩ i ∪): tworzą one sylogizmy o terminach złożonych (w opozycji do nich pozostałe są zwane sylogizmami o terminach prostych)

Tabela 4. Reguły nazwowe o terminach prostych według grup tekstów, procenty

Grupy oznaczają:

1–4 teksty pozafilozoficzne

1 dramat

2 retoryka

3 medycyna

4 historia

5–17 teksty filozoficzne, w tym:

5–12 teksty sokratyków

5 Ksenofont

6 Platon, okres I (co do chronologii Platona, patrz wyżej)

7 Platon, okres II

8 Platon, okres III

9 Platon, okres IV, bez fr. 53

10 Platon, okres V

11 Platon, okres VI

12 Platon, okres VII

13 Eleaci

14 Platon, fr. 53

15–17 inni presokratycy

15 Gorgiasz

16 Dissoi logoi

16 inni

18 Pseudo-Platon

Do Corpus prearystotelików należą grupy 1–12 i 14. Fragmenty presokratyków to grupy 13 i 15–17.
figuragrupywszystko
1–412345–175–1256789101112131415–1715161718
cons     00     2         0
cons obl     00              211
Razem cons     00     2        211
conv     546113  5   20    75
Razem conv     546113  5   20    75
Razem jednoprzesłankowe     556113  7   20    296
111 50  161711209271814509  12 13  15
1m11  25 2122179282221295036 1312 71001420
1 obl     128 3            1
1m obl     11    72         1
1c11  25 42   67    131810013  4
1mc     00          6 7  0
Razem figura I33 5050043443630415554451004502747100401001441
222 5025 131219111910410 18 2018 20  13
2m     9861136417 9100206 7 79
2 obl     00    4          0
2m obl     22    18          2
2c11   10020          29 33  2
Razem figura II33 5025100262325232216292602710040530600726
3     22 29  2        142
3m     22 562 2        72
3mc     113    2         1
Razem figura III     5537162 7        215
4     11   2 2         1
4 obl     00   2           0
Razem figura IV     11   4 2         1
Razem dwuprzesłankowe67 10075100757364597878828110073100671001001001004373
sor32250 25 131422231310115 18 7    713
sor3 obl     226 6 4          2
sor3c     00         7     0
Razem trójprzesłankowe2250 25 151628231910145 18 13    715
sor41150   443  1047        74
sor4 obl     00       9      71
Razem czteroprzesłankowe11    453  1047 9      145
sor5     11 5 2          71
Razem pięcioprzesłankowe     11 5 2          71
sor9     00 2             0
Razem dziewięcioprzesłankowe     00 2             0
100%=9224127824436443249284221121517115114301

Tabela 5. Wszystkie reguły wg grup tekstów, procenty

figuragrupywszystko
1–412345–175–1256789101112131415–1715161718
reguły nazwowe o terminach prostych32502050176676927365786581100791532455100257064
reguły nazwowe o terminach złożonych4  13 673320312  7 113  25 6
reguły bez terminów nazwowych (wyłącznie zdaniowe)57507038672012517614915 1485344579 503022
reguły pozostałe7 10 1786 785144   23816   7
100%=28410864203223960496343522141347381915420468

Widać, że tradycyjna kolejność figur jest dobrze uzasadniona ich użytecznością: najczęstsza jest I (124 przypadki), po niej II (77), III (16) i IV (3). Zarazem ilość wystąpień fig. IV mieści się w granicach błędu, więc nieuwzględnienie jej przez Arystotelesa jest zupełnie zasadne.

Tradycyjnie przyjęło się, że w sylogizmach dwuprzesłankowych pierwsza jest tzw. przesłanka większa, zawierająca orzecznik konkluzji, druga zaś przesłanka mniejsza, zawierająca jej podmiot. W przypadku odwrotnej kolejności przesłanek mówi się o ich przestawieniu (metathesis). W fig. I mamy wyraźną przewagę reguł z przestawieniem przesłanek, tzn. 〈A_B, B_C ⊢ A_C〉 (60 przypadków) wobec 〈B_C, A_B ⊢ A_C〉 (45 przypadków). Odwrotnie dla fig. II: kolejność tradycyjna, tzn. 〈A_B, C_B ⊢ C_A〉 przeważa 38:27. W fig. III oba rodzaje mają po tyle samo przypadków, za mało jednak by coś na tej podstawie wnioskować (7:7).

Tryby skondycjonalizowane (sylogizmy hipotetyczne, różniące się od zwykłych tym, że wniosek ma charakter implikacji) są ciekawsze. W fig. I stosunek udziału 1c do 1mc, czyli 〈A_B ⊢ B_C → A_C〉 do 〈B_C ⊢ A_B → A_C〉 wynosi 11:1! W fig. II stosunek udziału 2c:2mc, czyli 〈A_B ⊢ C_B → A_C〉 do 〈A_B ⊢ C_B → C_A〉 wynosi już 6:0, ale pięć z tych sześciu przypadków pochodzi z jednego utworu (Dissoi logoi), nie można więc niczego ogólnego stąd wywnioskować.

Wśród reguł nazwowych rzuca się w oczy minimalny udział reguł innych niż dwuprzesłankowe reguły o terminach prostych (220): trójprzesłankowych reguł o terminach prostych jest już tylko 44, pozostałych (jedno-, cztero-, pięcio- i dziewięcioprzesłankowych razem): 37. Reguł o terminach złożonych (z ∩ lub ∪) jest tylko 28.

Jedynymi zależnościami między grupami tekstów, jakie da się jednoznacznie wychwycić, są proporcje reguł nazwowych do zdaniowych: w tekstach sokratyków ich procentowy udział wynosi odpowiednio 76 i 12, u eleatów 15 i 85, we fr. 53: 32 i 34, u innych filozofów 45:45 (Gorgiasz: 5 i 79, Dissoi logoi: 100 i 0), a w tekstach pozafilozoficznych: 32 i 57.

4. Reguły wg nazw zwyczajowych

Tabele poniższe ilustrują występowanie tych reguł logicznych, które mają swoje nazwy zwyczajowe: standardowych trybów sylogistycznych i niektórych reguł rachunku zdań.

Reguły nienazwane zostały podzielone wyczerpująco i rozłącznie na zdaniowe, nazwowe i mieszane. Do nazwowych (poza grupą 1.) zostały włączone wszystkie reguły nie zawierające funktorów zdaniowych oraz sylogizmy skondycjonalizowane (c) z grupy 3. Do zdaniowych zostały włączone wszystkie reguły nie zawierające funktorów nazwowych.

Tabela 6. Konwersje i ważne tryby fig. I–IV wg grup tekstów, procenty

nazwa zwyczajowagrupywszystko
1–412345–175–1256789101112131415–1715161718
conv. simplex e     00              501
Razem konwersje     00              501
barbara     18202225112814115017       17
barbara m     242628639212928 50  50  100 23
barbara c     22   314          2
Razem barbara     45485031505257395067  50  100 42
celarent     33 6 376         3
celarent m20  33 11126611177175017       12
celarent c20  33 22   7      50100   3
Razem celarent40  67 1717613112814225017  50100   17
darii     22    14          1
darii c     10         14     1
Razem darii     22    14    14     2
ferio c     10         14     1
Razem ferio     10         14     1
Razem ważne tryby fig. I40  67 646756446179866110083 29100100 100 63
cesare     441113   6         4
cesare m     981119  717 17100      9
Razem cesare     13122231  722 17100      12
camestres40 10033 10817 111076   43     11
camestres m     53 13 3 6   29     4
Razem camestres40 10033 141217131114711   71     15
festino     22 66            1
Razem festino     22 66            1
baroco     11   3           1
baroco m     22  63 6         2
baroco c20   10000               1
Razem baroco20   10033  67 6         4
Razem ważne tryby fig. II60 100331003229395022211439 1710071     32
darapti     11 6             1
Razem darapti     11 6             1
disamis m c     116              1
Razem disamis     116              1
datisi     11  6            1
Razem datisi     11  6            1
felapton     11  6           501
Razem felapton     11  6           501
bocardo m     11  6            1
Razem bocardo     11  6            1
Razem ferison     00               0
Razem ważne tryby fig. III     446617           504
Razem ważne tryby fig. IV     00               0
100%=50131132121181618291418262721012139

Tabela 7. Wszystkie reguły nazwowe wg grup tekstów, procenty

nazwa zwyczajowagrupywszystko
1–412345–175–1256789101112131415–1715161718
konwersje i ważne tryby fig. I–IV50 50601004345493342564243100501003511100 501442
łańcuszniki redukowalne do trybów fig. I–IV30100 20 11121919213125 17 5     11
„calerent” (paralogizm)     11   4           1
ω-reguła (epagoge)     00 2             0
nienazwane nazwowe20 5020 4642324656274552 33 6089 100508647
100%=10225130926937484352334221222018115214333

Tabela 8. Reguły zdaniowe wg grup tekstów, procenty

nazwa zwyczajowagrupywszystko
1–412345–175–1256789101112131415–1715161718
reguła odrywania6 14  2221 30  2522 100273867  1719
przechodniość implikacji6   2545  33  11    67   4
Razem reguły czysto implikacyjne13 14 252526 3033 2533 10027381213  1723
kontrapozycja     2         18      2
słaba reg. dowodzenia niewprost505057100 3126501033337511  36442927 50 32
słaby dowód niewprost     112350403322 11        1710
mocna reg. dowodzenia niewprost1950  5020        9 6  50 5
mocny dowód niewprost     13   11           1
Razem wnioskowania niewprost69100571005048511005067677522  64443527 1001750
nienazwane zdaniowe19 29 252723 20 33 44  9195360  6728
100%=162734833921039490211161715026105

Tabela 9. Wszystkie reguły wg grup tekstów, procenty

nazwa zwyczajowagrupywszystko
1–412345–175–1256789101112131415–1715161718
reguły nazwowe36502063177484958088837781100861543475100507071
reguły zdaniowe57507038672012517614917 1485344579 503022
nienazwane mieszane7 10 1774 363142   23816   6
100%=28410864203223960496343522141347381915420468

Tabele te pozwalają na przeprowadzenie podziału wśród znalezionych reguł pod względem ich sensu logicznego.

Po pierwsze, większość wszystkich reguł stanowią reguły nazwowe, czyli sylogizmy (71% wszędzie, 84% u sokratyków). Spośród reguł nazwowych większość stanowią tryby posługujące się czterema klasycznymi funktorami (⊆, ∥, ∦, ⊈, czyli scholastyczne a, e, i, o; odpowiednio: 53% i 57%) — na tryby używające przynajmniej jednego z pozostałych pięciu funktorów nazwowych (lub funktora specyficznego) przypada 47% (42% u sokratyków). Spośród tych pierwszych tylko 21% to tryby o ilości przesłanek różnej od dwóch. Tak więc, wprawdzie klasyczne, Arystotelesowe sylogizmy dwuprzesłankowe (bez figury IV) stanowią tylko odpowiednio 29% (37%) wszystkich znalezionych reguł, to stanowią one największą i najjednorodniejszą grupę, mogą być więc śmiało nazwane logiką par excellence. Dodać jeszcze należy, że ważne tryby fig. I (sylogizmy doskonałe Arystotelesa) stanowią 63% (67%) wszystkich, zaś sam tryb „barbara” — 42% (48%).

Należy zrewidować wcześniejsze uwagi o proporcji trybów standardowych do trybów z przestawieniem przesłanek. Widać bowiem niezwykle wyraźnie, że w fig. I, gdzie stosunek ten wynosił 45:60, podczas gdy dla trybu „barbara” wynosi on 24:32 (3:4, a więc tyle samo), to dla trybu „celarent” aż 4:16 (1:4). W fig. II, gdzie ogólnie było 38:27, dla trybu „cesare” jest 5:12 (1,7:4), a dla „camestres” 15:6 (4:1,6). Można więc podsumować, że niezależnie od układu terminów, proporcja układu aee (⊆∥∥) do eae (∥⊆∥) wynosi 43:15, czyli 4:1,4.

Z logiki czysto zdaniowej, która obejmuje 22% (12% u sokratyków) wszystkich reguł, należy zwrócić uwagę przede wszystkim na logikę implikacyjno-negacyjną, która stanowi 72% (77%). Mniejsza jej część to rachunek czystej implikacji: reguła odrywania to odpowiednio 19% i 21%, a przechodniość implikacji 4% (5%) wszystkich reguł zdaniowych. Reszta, a zarazem połowa wszystkich reguł zdaniowych to różne formy dowodzenia niewprost. Składają się na nie: kontrapozycja (np. α→β ⊢ ~β→~α), reguła dowodzenia niewprost (np. α→β, ~β ⊢ ~α), czy wreszcie dowód niewprost (np. (α, Γ ⊢ β), ~β |- ~α); w regułach tych miejsce może zmieniać negacja, można je też rozbudowywać o przechodniość implikacji (np. α→β, β→~γ, γ ⊢ ~α). Wśród różnych form dowodzenia niewprost ważniejszy od podziału na kontrapozycję, regułę dowodzenia niewprost i dowody niewprost jest podział na dowodzenie słabe (formuły zanegowanej) i mocne (formuły pozytywnej). Stosunek ilości reguł obalających (z negacją we wniosku) do reguł mocnych wynosi 46:6 (odpowiednio 19:1 u sokratyków).

5. Ilość przesłanek w regułach

Tabela 10.: Ilość przesłanek w regułach wg grup tekstów, procenty

ilość przesłanekgrupywszystko
1–412345–175–1256789101112131415–1715161718
111 1013179,06,58845710  151324553 209,6
2645070755063,367,1625861736777100716264321647504062,4
3142510131718,618,326232711218 1423172132 501017,9
4725  174,85,35241026 14 435  255,8
54 10  1,91,9 3422     511  52,1
6     0,5          235   0,4
7     0,70,3 2        511   0,6
8     0,2           35   0,2
9     0,20,3 2             0,2
10     0,2           35   0,2
11     0,2           35   0,2
ω     0,20,3 2             0,2
100%=28410864203223960496343522141347381915420468

Jak widać, reguły dwuprzesłankowe stanowią prawie 2/3 ogólnej liczby reguł (62,4% dla wszystkich, 67,1% dla sokratyków). Poza regułami trójprzesłankowymi (17,9% i 18,3% odpowiednio), jednoprzesłankowymi (9,6% i 6,5%) oraz czteroprzesłankowymi (5,8% i 5,3%), żaden inny typ nie przekracza progu jednego procenta (w sumie mają 2,1% i 2,8%).

6. Częstość występowania funktorów w regułach

Tabela 11. Częstość występowania funktorów w regułach wg grup tekstów, procenty

funktorgrupywszystko
1–412345–175–1256789101112131415–1715161718
325010631769,578,0956384819160100861543502187503065,6
=11 20 1715,715,815231611919 14  39 100 4516,7
     5,54,3378 12    19     4,9
¬     9,59,9510813519   17    58,8
21251050 32,632,3234333351640501415551321 253031,8
4   174,55,0 3165 6   6    54,5
4 10  2,63,1 282 8   2    52,8
4  13 5,25,63210319  7 9     4,9
     5,22,8 512      21811 25 4,7
6450605010027,414,05128142817 1485647610053502529,5
~46 60383315,58,7510414712  62323763 50516,9
7   333,11,9 3 224  89511  204,1
7 20  2,90,9   2 4   22142   3,0
4 10  1,21,2 2 2 4   2     1,3
     0,50,6     4         0,4
     0,20,3  2            0,2
specyf.    176,78,4132102302 7 2    207,1
100%=28410864203223960496343522141347381915420468

Spośród dwuargumentowych funktorów zdaniotwórczych od argumentów nazwowych najpopularniejszy zdecydowanie jest funktor ⊆ (tradycyjne a): występuje w 65,6% reguł (78,0% u sokratyków). Po nim następują: ∥ (tradycyjne e): 31,8% (32,3%), = (nie występuje w sylogistyce tradycyjnej): 16,7% (15,8%), ∦ (tradycyjne i): 4,9% (4,3%), ⊈ (tradycyjne o): 4,5% (5,0%) oraz ≠ (nie występuje w sylogistyce tradycyjnej): 2,8% (3,1%).

Wykorzystując informacje o współwystępowaniu funktorów z tabeli 27. możemy stwierdzić, że jakiś tradycyjny funktor ogólny (⊆ lub ∥) występuje w sumie w 412 z 468 reguł (88%), zaś szczegółowy (⊈ lub ∦) w 39 (8%). Z kolei funktory twierdzące (⊆ lub ∦) występują w 316 regułach (68%), a przeczące (∥ lub ⊈) w 164 (35%). Nietradycyjne ≠/≠: 89 (19%).

Z innych funktorów nazwowych należy wymienić negację nazwową (dopełnienie), występującą w 8,8% reguł (u sokratyków w 9,9%) oraz koniunkcję (iloczyn mnogościowy): 4,9% (5,6%) i alternatywę (sumę mnogościową): 4,7% (2,8%). Którakolwiek z dwóch ostatnich występuje w 8,3% wszystkich reguł.

Spośród funktorów od argumentów zdaniowych najpopularniejsza jest implikacja (29,5% i 14,0%) i negacja (16,9% i 8,7%). Pozostałe znajdują się łącznie w 8,8% (4,6%) reguł. Przy rozważaniu koniunkcji i alternatywy pamiętać jednak należy (podobnie zresztą w przypadku koniunkcji i alternatywy nazwowej), że pominięte zostały użycia reguł dołączania alternatywy (np. α ⊢ α∨β) i opuszczania koniunkcji (np. α∧β ⊢ α), jako że niezwykle trudno rozróżnić tekst, który ma być sformalizowany np. na sposób „α∧β ⊢ α” od tego, którego właściwą formalizacją jest „α, β ⊢ α” (w niektórych formalizacjach dedukcji naturalnej przyjmuje się zresztą na mocy konwencji, że te dwa zapisy są równoważne).

W 7,1% (8,4%) reguł znajduje się też funktor specyficzny, który prawie zawsze jest funktorem nazwotwórczym od argumentu nazwowego (raz tylko, u Herodota, są to dwie stałe matematyczne: „90 dni” i „3 miesiące”).

7. Współwystępowanie funktorów

Tabela 12. Prawdopodobieństwo (w %) wystąpienia funktora z lewej strony tabeli przy założeniu, że w danej figurze jest funktor z nagłówka tabeli

funktorfunktorwszystko
=¬~sp.
27566166837162877727516   1009166
=1422 1555151399 5 17  3017
5  592415423745 17  125
¬989 2110 1351 5 17  39
4010577812954398612516 17  1232
512254 23  44    10034
339 514   11  17   3
74476   274 5    65
6322213  26 635 17  65
1215435112482236178189795050 929
~1 13 3148 94614379367100  17
11422  45129 141750 34
         81611 33100  3
 1421 8 525514 100  1
         1351433   0
0    5           0
specyf.101317235 992 5     7
100%=3077823411492113232213879191462133468

8. Ilość różnych funktorów w regułach

Tabela 13. Ilość różnych funktorów w regułach wg grup tekstów, procenty

ilość funktorówgrupywszystko
1–412345–175–1256789101112131415–1715161718
11825201317303544382737233350572313131113253029
26175606350424246403546424450436936343233505043
318 2025172220101833143319  823454253252022
4    1742 343     17511   4
5     11  2  4   435   1
6     10    2    6     1
100%=28410864203223960496343522141347381915420468

Brać pod uwagę należy w zasadzie wyłącznie reguły o 1–3 różnych funktorach (tylko w 6% przypadków może być ich więcej).


Prehistoria logiki formalnej to praca doktorska Marka Jerzego Minakowskiego, obroniona 5.11.1998 na Uniwersytecie Jagiellońskim (pod oryginalnym tytułem: Logika formalna przed Arystotelesem).
Przeniesiona z wersji oryginalnej (WordPerfect 6.1) do HTML w roku 2000, bez zmian w tekście (początkowo pod adresem ancientlogic.republika.pl, obecnie logika.minakowski.pl)
Licencja Creative Commons
Prehistoria logiki formalnej by Marek Jerzy Minakowski is licensed under a Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Unported License.